Obr. 1.a Prúdová trubica s naznačenými prúdnicami

Obr. 1.b Pohyb tekutiny v prúdovej trubici

Bernoulliho rovnica je dôležitý vzťah používaný v hydrodynamike, ktorý je matematickým vyjadrením zákona zachovania energie v ustálenom toku kvapaliny alebo plynu. Zákon odvodil švajčiarsky matematik Daniel Bernoulli.

Odvodenie

Jedno z možných odvodení Bernoulliho rovnice vychádza zo zákona zachovania energie v kvapaline. Pri odvádzaní sa využíva predpoklad ustálenosti prúdenia, t. j. že na žiadnom mieste tekutiny sa rýchlosť nemení s časom.

Predstavme si zväzok blízkych prúdnic, ktoré formujú prúdovú trubicu ako na obr. 1a. Keďže steny trubice sú tvorené prúdnicami, nevyteká nimi žiadna tekutina. Označme plochu prierezu na vtoku do trubice ${\displaystyle S_{1}}$, rýchlosť tekutiny v tomto bode označme ${\displaystyle v_{1}}$. Obdobne označme plochu prierezu a rýchlosť tekutiny na výtoku ako ${\displaystyle S_{2}}$ a ${\displaystyle v_{2}}$. Keďže prúdenie je ustálené, v trubici sa nemôže hromadiť tekutina. To znamená, že hmotnosť vytečenej a vtečenej tekutiny za jednotku času musí byť rovnaká:

${\displaystyle \Delta M=\rho _{1}S_{1}v_{1}\Delta t=\rho _{2}S_{2}v_{2}\Delta t}$

Máme teda rovnosť:

${\displaystyle \rho _{1}S_{1}v_{1}=\rho _{2}S_{2}v_{2}}$

Tiež známu ako rovnicu kontinuity.

Teraz vypočítame prácu, ktorú vykonal tlak v tekutine. Práca vykonaná na tekutine, ktorá vteká do ${\displaystyle S_{1}}$ je ${\displaystyle p_{1}S_{1}v_{1}\Delta t}$ zatiaľ čo práca odovzdaná na výtoku je ${\displaystyle p_{2}S_{2}v_{2}\Delta t}$. Výsledná práca vykonaná na tekutine medzi ${\displaystyle S_{1}}$ a ${\displaystyle S_{2}}$ je preto:

${\displaystyle p_{1}S_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}S_{2}v_{2}\Delta t}$

a musí byť rovná zvýšeniu energie tekutiny hmotnosti ${\displaystyle \Delta M}$ pri prechode z ${\displaystyle S_{1}}$ do ${\displaystyle S_{2}}$. Teda:

${\displaystyle p_{1}S_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}S_{2}v_{2}\Delta t=\Delta M(E_{2}-E_{1})}$

pričom ${\displaystyle E_{1}}$ je energia na jednotku hmotnosti tekutiny na vtoku a ${\displaystyle E_{2}}$ na výtoku. Energiu na jednotku hmotnosti môžeme zapísať ako:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}v^{2}+\varphi +W}$

Kde ${\displaystyle {\frac {1}{2}}v^{2}}$ je kinetická energia na jednotku hmotnosti, ${\displaystyle \varphi }$ je potenciálna energia na jednotku hmotnosti a ${\displaystyle W}$ je člen, ktorý reprezentuje vnútornú energiu jednotky hmotnosti tekutiny. Dosadením vzťahu do predchádzajucej rovnice potom dostávame:

${\displaystyle {\frac {p_{1}S_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}S_{2}v_{2}\Delta t}{\Delta M}}={\frac {1}{2}}v_{2}^{2}+\varphi _{2}+W_{2}-{\frac {1}{2}}v_{1}^{2}-\varphi _{1}-W_{1}}$

Keďže však ${\displaystyle \Delta M=\rho Sv\Delta t}$, tak dostaneme výraz:

${\displaystyle \frac{p_1}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1}+\frac{1}{2}{v}_1^2+{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1+W_1=\frac{p_2}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2}+\frac{1}{2}{v}_2^2+}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---