Beta funkcia (iné názvy: B-funkcia, funkcia beta, Eulerov integrál prvého druhu) je špeciálny typ funkcie využívaný v matematike.

Definícia

Funkciu definovanú pre ${\displaystyle x>0}$ a ${\displaystyle y>0}$ nasledovným predpisom:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}B(x,y)=\operatorname {\int } _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\end{array}}}$

nazývame beta funkcia alebo Eulerov integrál prvého druhu.

Funkciu beta môžeme definovať aj pomocou gama funkcie, a to nasledovne:

${\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$

Dôležité vzťahy a vlastnosti

Niektoré dôležité vzťahy a vlastnosti, ktoré platia pre beta funkciu:

• beta funkcia je symetrická, teda:

${\displaystyle \operatorname {B} (x,y)=B(y,x)}$

• ${\displaystyle B(x,y)={\frac {y-1}{x+y-1}}B(x,y-1)}$
• ${\displaystyle B(x,n)={\frac {(n-1)!}{x(x+1)(x+2)+\cdots +(x+n+1)}}}$ pre ${\displaystyle n=1,2,\cdots }$
• ${\displaystyle B(x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,\mathrm {d} t}$
• ${\displaystyle B(x,1-x)={\frac {\pi }{sin(\pi x)}}}$ pre ${\displaystyle x\in (0,1)}$

Zdroj

• BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III..  : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.