Grafické znázornenie Sarrusovho pravidla

Determinant je multilineárne zobrazenie, ktoré každej reálnej (resp. komplexnej) štvorcovej matici priraďuje jedno reálne (resp. komplexné) číslo.

Značenie

Determinant matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ značíme v skrátenej forme, ktorá nešpecifikuje jej jednotlivé prvky ${\displaystyle \mathbf {a} _{ij}}$ nasledovným spôsobom:

${\displaystyle \det \mathbf {A} }$

V prípade explicitného vyjadrenia jednotlivých prvkov ${\displaystyle \mathbf {a} _{ij}}$ matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ používame nasledujúce značenie:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}$,

Ďalším zaužívaným spôsobom je nasledujúce označenie:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}}}$.

Definícia determinantu

Všeobecná definícia

Pre ľubovoľnú reálnu alebo komplexnú maticu ${\displaystyle \mathbf {A} =({a_{i}}_{j})\,}$ rozmeru ${\displaystyle n\times n}$ definujeme determinant nasledujúcim predpisom (nazývaným tiež Leibnizova formula):

${\displaystyle \det \mathbf {A} =\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}{a}_{i,\sigma (i)}}$

Znak ${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}}$ znamená sumu cez všetky permutácie ${\displaystyle \sigma }$ čísel ${\displaystyle {1,2,\cdots ,n}}$. Znakom ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ označujeme znamienko permutácie ${\displaystyle \sigma }$. Znamienko permutácie nadobúda hodnotu +1 pre párne permutácie a −1 pre nepárne permutácie. Z dôvodu sčítania cez všetky permutácie čísel ${\displaystyle {1,2,\cdots ,n}}$ sa v Leibnitzovej formule vyskytuje ${\displaystyle n!}$ sčítancov (každý zodpovedá práve jednej permutácii). V praxi sa preto pre matice vyšších rádov používajú rôzne výpočetné algoritmy.

Hore uvedená definícia sa veľakrát prepisuje pomocou všeobecného Levi-Civitovho symbolu ${\displaystyle \varepsilon _{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}}$:

${\displaystyle \det \mathbf {A} =\sum _{j_{1},j_{2},...,j_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}=\sum _{j_{1},j_{2},...,j_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}a_{j_{1}1}a_{j_{2}2}\cdots a_{j_{n}n}}$

Špeciálny prípad

Matica rádu 1

Matica rádu jedna (teda rozmeru 1×1) pozostáva z jediného čísla ${\displaystyle \mathbf {{a_{1}}_{1}} }$. Determinant matice prvého rádu je preto rovný práve tomuto prvku: Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.