Poissonovo rozdelenie alebo Poissonovo pravdepodobnostné rozdelenie je v teórii pravdepodobnosti a štatistike diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré môžeme interpretovať ako rozdelenie pravdepodobnosti výskytu zriedkavých udalostí v sérii veľkého počtu ${\displaystyle n}$ nezávislých pokusov. Patrí k pravostranne zošikmeným rozdeleniam.

Poissonovo rozdelenie sa často používa ako aproximácia binomického rozdelenia pre veľký počet pokusov, teda pre ${\displaystyle n\to \infty }$, a malú pravdepodobnosť výskytu sledovaného javu v jednom pokuse, teda pre ${\displaystyle p\to 0}$. V takomto prípade sa stredná hodnota binomického rozdelenia rovná parametru ${\displaystyle \lambda }$.

Rozdelenie je pomenované podľa francúzskeho fyzika a matematika Siméona Denisa Poissona. Poissonovo rozdelenie má veľmi výhodné vlastnosti, a práve preto sa často používa pri modelovaní počtu poistných plnení v životnom aj neživotnom poistení.

Definícia

Diskrétna náhodná premenná ${\displaystyle X}$ má Poissonovo rozdelenie s parametrom ${\displaystyle \lambda >0}$, ak nadobúda hodnoty ${\displaystyle k=0,1,2,k...}$ s pravdepodobnosťami ${\displaystyle p_{0}}$, ${\displaystyle p_{1}}$, ${\displaystyle p_{2}}$, ..., pričom pre tieto platí nasledovný vzťah:

${\displaystyle p_{k}=P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }}$

Označujeme:

• ${\displaystyle \operatorname {X} \sim Poi(\lambda )}$
• ${\displaystyle \operatorname {X} \sim Po(\lambda )}$
• ${\displaystyle \operatorname {X} \sim Pois(\lambda )}$

Základné charakteristiky rozdelenia

• Stredná hodnota:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda }$

• Rozptyl:

${\displaystyle \operatorname {D} (X)=\lambda }$

• Koeficient šikmosti:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}}$

• Koeficient špicatosti:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {1}{\lambda }}}$

• Momentová vytvárajúca funkcia:

${\displaystyle m(z)=\mathrm {e} ^{\lambda (\mathrm {e} ^{z}-1)}}$

Iné projekty

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Poissonovo rozdelenie

Zdroje

• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika – Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory, s. 344.
• POTOCKÝ, Rastislav. Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. S. 382.
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika.. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-223-1262-2. S. 344.
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Poissonovo rozdělení na českej Wikipédii.