Vymedzenie priestorového uhla na guľovej ploche

Priestorový uhol je časť priestoru vymedzená rotačnou kužeľovou plochou. Každá taká plocha delí priestor na práve dve časti – priestorové uhly. Priestorový uhol sa určuje tak, že sa uvažuje guľová plocha so stredom vo vrchole V a s ľubovoľným polomerom r, ktorej prienik s priestorovým uhlom je vrchlík na guľovej ploche s obsahom A. Veľkosť priestorového uhla potom určuje pomer medzi A a r², pričom nezávisí na uvažovanej guľovej ploche.^[1][2][3][4]

Alternatívnou definíciou priestorového úhlu je zjednotenie všetkých polopriamok ${\displaystyle {\overrightarrow {VX}}}$ so spoločným začiatkom V, kde bod X leží na guľovom vrchlíku so stredom v bode V.^[5][6][7]

Špecifickým prípadom priestorového uhla je polpriestor, tj. časť priestoru rozdeleného rovinou.

Značenie

• Symbol veličiny: ${\displaystyle \Omega }$
• Jednotka SI: steradián, značka jednotky: sr
• V astronómii sa okrem steradiánu používa aj staršia jednotka štvorcový stupeň.

Výpočet

Priestorový uhol objektu pozorovaného z určitého bodu je rovný ploche, ktorú zaberá obraz tohto objektu v bodovej projekcii (so stredom v danom bode) na jednotkovú guľu, ktorá má stred v danom bode.

Plný priestorový uhol má hodnotu ${\displaystyle 4\pi }$, priamy uhol polovičnú.

Element priestorového uhla

Ak pozorujeme z určitého bodu s polohovým vektorom ${\displaystyle \mathbf {r} }$ element plochy ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }$, ktorého polohový vektor je ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }}$, potom pre element priestorového uhla platí

${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }{R^{3}}}}$,

kde ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }}$, ${\displaystyle R}$ je veľkosť tohto vektoru a ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =\mathbf {n} \mathrm {d} S}$, pričom ${\displaystyle \mathbf {n} }$ je normála plochy v bode ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }}$.^[8][9]

Referencie

1. ↑ ROSSIOVÁ DELL'ACQUA, Alba. Encyklopedie matematiky. 1. vyd. Praha : Mladá fronta, 1988. S. 260.
2. ↑ Encyklopedický institut ČSAV. Malá československá encyklopedie. 1. vyd. Zväzok V. Pom–S. Praha : Academia, 1987. S. 123.
3. ↑ KLEZCEK, Josip. Velká encyklopedie vesmíru. 1. vyd. Praha : Academia, 2002. ISBN 80-200-0906-X. S. 388.
4. ↑ J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, . ISBN 80-8078-091-9.
5. ↑ LOŠŤÁK, Jiří. Matematika do kapsy. 2. vyd. Olomouc : FIN, 1993. ISBN 80-85572-47-8. S. 123–124.
6. ↑ Encyklopedický dům. Encyklopedický slovník. 1. vyd. Praha : Odeon & Encyklopedický dům, 1993. ISBN 80-207-0438-8. S. 1143.
7. ↑ Diderot. Všeobecná encyklopedie Diderot v osmi svazcích. 2. nezměněné. vyd. Zväzok 8. T–Ž. Praha : DIDEROT, 2002. ISBN 80-86613-08-9. S. 177.
8. ↑ P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. Prehľad matematiky. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, .
9. ↑ M. BILLICH - M. TRENKLER. Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok: Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2013, . ISBN 978-80-561-0058-5.

Pozri aj

• Uhol
• Steradián

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Prostorový úhel na českej Wikipédii.