Homologická algebra je obor matematiky, který studuje homologii v obecném algebraickém prostředí. Jedná se o relativně mladou disciplínu, jejíž počátky lze vysledovat k výzkumům v kombinatorické topologii (předchůdci algebraické topologie) a abstraktní algebře (teorii modulů a syzygií) na konci 19. století, především Henriho Poincaré a Davida Hilberta.

Vývoj homologické algebry byl úzce spjat se vznikem teorie kategorií. Z většiny homologická algebra zkoumá homologické funktory a složité algebraické struktury, s nimiž souvisí. Jedním z velmi užitečných a poměrně rozšířených konceptů v matematice jsou řetězcové komplexy, které se dají studovat přes jejich homologii a kohomologii. Homologická algebra poskytuje prostředky k získávání informací obsažených v těchto komplexech a prezentuje je ve formě homologických invariant okruhů, modulů, topologických prostorů a dalších „hmatatelných“ matematických objektů. Mocným nástrojem s tímto účelem jsou spektrální sekvence.

Od samého počátku hrála homologická algebra obrovskou roli v algebraické topologii. Její vliv se postupně rozšířil a v současnosti zahrnuje komutativní algebru, algebraickou geometrii, algebraickou teorii čísel, teorii reprezentace, matematickou fyziku, algebry operátorů, komplexní analýzu a teorii parciálních diferenciálních rovnic. K-teorie je nezávislá disciplína, která čerpá z metod homologické algebry stejně jako nekomutativní geometrie Alaina Connese.

Historie homologické algebry

Homologická algebra začala být zkoumána ve své nejzákladnější formě v 19. století jako odvětví topologie, ale ve 40. letech se stala nezávislým odvětvím jakožto studium objektů jako například Ext funktor a Tor funktor, mimo ostatní. ^[1]

Řetězcové komplexy a homologie

Koncept řetězcových komplexů je v homologické algebře klíčový. Abstraktní řetězcový komplex je posloupnost ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$abelovských grup spojených homomorfismy s tou vlastností, že složení dvou po sobě jdoucích zobrazení je nulové zobrazení:

${\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

Prvky z C_n se nazývají n-řetězce a homomorfismy d_n se nazývají mezní zobrazení nebo diferenciály. Řetězcové grupy C_n mohou mít další strukturu; mohou to být například vektorové prostory nebo moduly nad daným okruhem R. Diferenciály musí tuto nadrámcovou strukturu zachovávat; musí to pak být například lineární mapy nebo homomorfismy R-modulů. Kvůli pohodlí notace omezme pozornost na abelovské grupy (přesněji na kategorii Ab abelovských grup); slavná věta Barryho Mitchella dokazuje, že všechny výsledky se dají zobecnit na jakoukoli abelovskou kategorii. Každý řetězcový komplex definuje dvě další sekvence abelovských grup: cykly ${\displaystyle Z_{n}=\ker {d_{n}}}$ a meze ${\displaystyle B_{n}=\operatorname {im} d_{n+1},}$ kde ${\displaystyle \ker {d}}$ a ${\displaystyle \operatorname {im} d}$ označují jádro a obraz d. Vzhledem k tomu, že složení dvou po sobě jdoucích mezních map je nulové, jsou do sebe tyto množiny vloženy:

${\displaystyle B_{n}\subseteq Z_{n}\subseteq C_{n}.}$

Podgrupy abelovských grup jsou automaticky normální, a proto můžeme definovat n-tou homologickou grupu H_n(C) jako podílovou grupu n-cyklů podle n-mezí:

${\displaystyle H_{n}(C)=Z_{n}/B_{n}={\frac {\ker {d_{n}}}{\operatorname {im} d_{n+1}}}.}$

Řetězcový komplex se nazývá acyklický nebo exaktní posloupnost, pokud jsou všechny jeho homologické grupy nulové.

Řetězcové komplexy hojně vznikají v algebře a algebraické topologii. Například jestliže X je topologický prostor, pak jsou singulární řetězce C_n(X) formální lineární kombinace spojitých map ze standardního n-simplexu do X; pokud je K simpliciální komplex, potom jsou simpliciální řetězce C_n(K) formální lineární kombinace n-simplexů z K; pokud ${\displaystyle A=F/R}$ je prezentace abelovské grupy A podle generátorů a relací, kde F je volná abelovská grupa překlenutá generátory a R je podgrupa relací, pak lze pomocí C₁(A) = R, C₀(A) = F, a C_n(A) = 0 pro všechna zbylá n definovat posloupnost abelovských grup. Ve všech těchto případech existují přirozené diferenciály d_n, které z C_n dělají řetězcový komplex, jehož homologie odráží strukturu topologického prostoru X, simpliciálního komplexu K nebo abelovské grupy A. V případě topologických prostorů se dostáváme k pojmu singulární homologie, která hraje zásadní roli při zkoumání vlastností těchto prostorů, například variet.

Na filozofické úrovni nás homologická algebra učí, že jisté řetězcové komplexy přidružené k algebraickým nebo geometrickým objektům (topologickým prostorům, simpliciálním komplexům, R-modulům) o nich obsahují množství cenných algebraických informací, přičemž právě homologie je ten nejsnáze dostupný nástroj. Na technické úrovni poskytuje homologická algebra nástroje pro manipulaci s komplexy a získávání těchto informací. Zde jsou dva obecné příklady.

• Dva objekty X a Y jsou propojeny zobrazením f mezi nimi. Homologická algebra studuje vztah, způsobený mapou f, mezi řetězcovými komplexy spojenými s X a Y a jejich homologií. Toto je zobecněno na případ několika objektů a zobrazení, která je spojují. Homologická algebra studuje v jazyce teorie kategorií funktorové vlastnosti různých konstrukcí řetězcových komplexů a homologií těchto komplexů.
• Objekt X připouští více popisů (například jako topologický prostor nebo jako simpliciální komplex) nebo je komplex ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$ konstruován s použitím nějaké 'prezentace' X, která vyžaduje nekanonické volby. Je důležité znát vliv změny popisu X na řetězcové komplexy spojené s X. Ten komplex a jeho homologie ${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$ jsou typicky vzhledem k prezentaci funktoriální, avšak homologie (ačkoli ne komplex sám) je ve skutečnosti nezávislá na zvolené prezentaci, je to invarianta prostoru X.

Standardní nástroje

Exaktní posloupnosti

V kontextu teorie grup, posloupnosti

${\displaystyle G_{0}\,{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}\,G_{1}\,{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}\,G_{2}\,{\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}\,\cdots \,{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}\,G_{n}}$

grup a grupových homomorfismů se říká exatní, jestliže obraz (nebo obor hodnot) každého homomorfismu je shodný s jádrem následujícího:

${\displaystyle \operatorname {im} f_{k}=\ker {f_{k+1}}.}$

Všimněme si, že taková posloupnost grup a homomorfismů může být konečná i nekonečná.

Podobná definice může být použita i pro některé jiné algebraické struktury. Například lze uvažovat exaktní posloupnost vektorových prostorů a lineárních map nebo modulů a homomorfismů modulů. Obecněji řečeno, koncept exaktní posloupnosti má smysl v každé kategorii s jádry a kojádry.

Krátká exaktní posloupnost

Nejběžnějším typem exaktní posloupnost je krátká exaktní posloupnost. To je exaktní posloupnost podoby

${\displaystyle A\,{\overset {f}{\hookrightarrow }}\,B\,{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\,C,}$

kde ƒ je monomorfismus a g je epimorfismus. V tomto případě, A je podobjekt B, a odpovídající podíl je izomorfní k C:

${\displaystyle C\cong {\frac {B}{\operatorname {im} f}}}$

(kde ${\displaystyle \operatorname {im} f=f(A)}$).

Krátkou exaktní posloupnost abelovských grup lze také zapsat jako exaktní sekvenci s pěti členy:

${\displaystyle 0\,\longrightarrow \,A\,{\overset {f}{\longrightarrow }}\,B\,{\overset {g}{\longrightarrow }}\,C\,\longrightarrow \,0,}$

kde 0 představuje nulový objekt, jako je triviální grupa nebo 0rozměrný vektorový prostor. Umístění těchto 0 nutí ƒ být monomorfismem a g epimorfismem (viz níže).

Dlouhá exaktní posloupnost

Dlouhá exaktní posloupnost je exaktní posloupnost indexovaná přirozenými čísly.

Lemma pěti

Uvažujme následující komutativní diagram v jakékoliv abelovské kategorii (jako je kategorie abelovských grup nebo kategorie vektorových prostorů nad daným polem) nebo v kategorii grup.

Lemma pěti říká, že pokud jsou řádky exaktní, m a p jsou izomorfismy, l je epimorfismus a q je monomorfismus, pak je n také izomorfismus.

Hadí lemma

V abelovské kategorii (jako je kategorie abelovských grup nebo kategorie vektorových prostorů nad daným polem) uvažujme komutativní diagram:

kde řádky jsou exaktní posloupnosti a 0 je nulový objekt. Pak existuje exaktní posloupnost vztahující jádra a kojádra z a, b a c:

${\displaystyle \ker {a}\,\rightarrow \,\ker {b}\,\rightarrow \,\ker {c}\,{\overset {d}{\rightarrow }}\,\operatorname {coker} a\,\rightarrow \,\operatorname {coker} b\,\rightarrow \,\operatorname {coker} c}$

Pokud je navíc f monomorfismus, pak je i ${\displaystyle \ker <!--\; \; -->a\to <!--\; \to \; -->\ker <!--\; \; -->b}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Homologická_algebra
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.