Banachov priestor, pomenovaný podľa Stefana Banacha, je v matematike normovaný lineárny priestor, ktorý je navyše úplný. Banachove priestory sú jedným z centrálnych objektov záujmu funkcionálnej analýzy.

Definícia

Banachov priestor je úplný normovaný lineárny priestor. To znamená, že Banachov priestor je lineárny priestor ${\displaystyle V}$ nad poľom reálnych alebo komplexných čísel s normou ${\displaystyle \|.\|}$, v ktorom má každá cauchyovská postupnosť v indukovanej metrike ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$ limitu.

Príklady

• Priestory ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ (všetky n-tice reálnych, resp. komplexných čísel) sú Banachove priestory v ľubovoľnej norme. Pokiaľ na priestoroch ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ definujeme euklidovskú normu

${\displaystyle \|x\|:={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}},}$

kde ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, budú tieto priestory dokonca priestormi Hilbertovými.

• Priestor všetkých spojitých funkcií ${\displaystyle f:\rightarrow \mathbb {R} }$ s normou

${\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\max _{t\in }|f(t)|}$

je Banachov.

• Pokiaľ na predchádzajúcom priestore definujeme normu

${\displaystyle \|f\|_{1}:=\int _{a}^{b}|f(t)|dt}$ alebo ${\displaystyle \|f\|_{2}:={\sqrt {\int _{a}^{b}|f(t)|^{2}dt}},}$

daný priestor už Banachov priestor nebude.

• Ak X je normovaný lineárny priestor a Y je Banachov priestor, potom priestor všetkých obmedzených lineárnych operátorov z X do Y s normou

${\displaystyle \|A\|:=\sup\{\|Ax\|:x\in X,\|x\|\leq 1\}}$

je Banachov priestor. Špeciálne, duálny priestor X* k priestoru X je vždy Banachov, keďže v tomto prípade ${\displaystyle Y=\mathbb {C} }$.

• Ak X je Banachov priestor, tak aj ľubovoľný jeho uzavretý podpriestor je Banachov priestor.

Pozri aj

• Hilbertov priestor
• Lebesgueov priestor

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Banachův prostor na českej Wikipédii.

Externé odkazy

• Banachov priestor - Wolfram MathWorld (po anglicky).