Cauchyho veta o strednej hodnote alebo Cauchyho veta o prírastku funkcie je matematická veta v diferenciálnom počte pomenovaná podľa Augustina Louisa Cauchyho.

Znenie vety^[1]1">upraviť | upraviť zdroj

Nech, ${\displaystyle f,g:\ \langle a,b\rangle \to \mathbb {R} }$ sú funkcie, pre ktoré platí:

1. sú spojité na <a,b>,
2. v každom bode z intervalu (a,b) majú vlastnú alebo nevlastnú deriváciu.

Potom existuje bod ${\displaystyle c\in (a,b)}$ tak, že platí

${\displaystyle f'(c)(g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a)).\,}$

Ak navyše platia podmienky:

1. ${\displaystyle g(b)\neq g(a)}$,
2. ${\displaystyle \forall x\in (a,b):g'(x)=0\Rightarrow f'(x)\neq 0}$,

potom možno uvedenú rovnosť prepísať ako

${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}$

Dôkaz^[1][2]upraviť | upraviť zdroj

Definujme

${\displaystyle F(x):=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a)).\,}$

Funkcia F(x) spĺňa predpoklady Lagrangeovej vety o strednej hodnote, a preto existuje ${\displaystyle c\in (a,b)}$ tak, že

${\displaystyle F'(c)={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}.}$

Keďže ale platí F(a) = F(b), musí platiť F'(c) = 0, čo dosadením do vzorca pre deriváciu F v bode c implikuje

${\displaystyle f'(c)(g(b)-g(a))-g'(c)(f(b)-f(a))=0,\,}$

z čoho už priamo plynie prvá časť dokazovaného tvrdenia.

Na to, aby bolo možné prepísať rovnosť do ekvivalentného tvaru, musí platiť ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$, ako aj ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$. Prvá z podmienok je zaručená v predpokladoch vety, ostáva ukázať, že z predpokladu ${\displaystyle \forall x\in (a,b):g'(x)=0\Rightarrow f'(x)\neq 0}$ vyplýva ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$. Ale keby platilo ${\displaystyle g'(c)=0}$, muselo by podľa dokázaného vzťahu platiť ${\displaystyle f'(c)(g(b)-g(a))=0}$, čo ale nie je možné, keďže oba činiteľe sú z predpokladov vety nenulové.

Referencieupraviť | upraviť zdroj

1. ↑ ^{a b} Kubáček, Z.: Matematická analýza pre informatikov.
2. ↑ Neubrunn, T., Vencko, J.: Matematická analýza I. Univerzita Komenského v Bratislave, 1992.

Pozri ajupraviť | upraviť zdroj

• Lagrangeova veta o strednej hodnote
• Rollova veta o strednej hodnote