A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Dělení nulou je v matematice takové dělení, při němž je dělitel nula. Může být zapsáno jako , kde a je dělenec. V oborech reálných ani komplexních čísel nemá takové dělení smysl – nula je jediné číslo, kterým nelze dělit. V oboru komplexních čísel rozšířených o (komplexní) nekonečno je definováno pro všechny nenulové dělence jako .[1]
Při dělení v plovoucí řádové čárce může být výsledkem speciální hodnota not a number (není číslo) nebo nekonečno.
Interpretace v elementární aritmetice
Když se mluví o dělení na základní úrovni, je často považováno za rozdělování množiny objektů na stejné části. Např.: Pokud máme deset kvádrů a rozdělíme je na skupiny po pěti, dostaneme dvě stejně velké části. To by mohla být ukázka toho, že 10/5 = 2. Dělitel je počet kvádrů v každé části a výsledek dělení odpovídá na otázku: „Pokud mám stejné části po 5 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“.
Pokud tuto otázku aplikujeme na dělení nulou, otázka „Pokud mám stejné části po 0 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“ nedává smysl, protože přičítáním částí o 0 prvcích se deset kusů nikdy nezíská.
Další metodou, jak popsat dělení nulou, je opakované odečítání. Např.: Pokud chceme vydělit číslo 13 pěti, odečteme od 13 dvakrát 5 a dostaneme zbytek 3. Dělitel se odečítá, dokud není zbytek menší než dělitel. V případě, že je dělitel nula, při opakovaném odečítání nuly od dělence nikdy nedosáhneme zbytku menšího než nula.
Rané pokusy
Brahmaguptův spis Brāhmasphuṭa-siddhānta z roku 628 je první, který považoval nulu za normální číslo a definoval operace ji obsahující. Autorovi se ale nepodařilo vysvětlit dělení nulou, jeho definice vede k absurdním algebraickým závěrům. Brahmagupta píše:
Kladné nebo záporné číslo dělené nulou je zlomek se jmenovatelem nula. Nula dělená záporným nebo kladným číslem je buď nula, nebo je vyjádřena jako zlomek s čitatelem nula a konečným množstvím jako jmenovatelem. Nula dělená nulou je nula.
Mahavira se v roce 830 neúspěšně pokusil opravit Brahmaguptovu chybu:
Číslo zůstává nezměněno, když je děleno nulou.
Bháskara II. se pokusil problém vyřešit definováním . Tato definice dává určitý smysl, ale může vést k paradoxům, pokud se s ní nezachází opatrně.
Např. , což by při odstranění zlomků vycházelo . To je nesmysl.
Algebraická interpretace
Přirozeným způsobem, jak vyložit dělení nulou, je nejprve definovat dělení pomocí jiných aritmetických operací. Podle standardních pravidel aritmetiky není dělení nulou v oborech přirozených čísel, celých čísel, racionálních čísel, reálných čísel a komplexních čísel (nerozšířených o nekonečno) definováno.
Důvodem je, že dělení je definováno jako inverzní operace k operaci násobení, hodnota je takovým číslem, pro které platí rovnice . Například
vyjadřuje fakt, že číslo je tím číslem, které lze dosadit do výrazu
- .
Avšak v případě
neexistuje žádné číslo, kterým by bylo možno nahradit otazník ve výrazu
- ,
neboť jakékoli číslo násobené nulou je nula, nikoli šest.
Algebraicky vyjádřeno: pokud , lze rovnici zapsat jako , tedy prostě . V tomto případě tedy rovnice nemá žádné řešení, pokud , a má nekonečně mnoho řešení, pokud . Ani v jednom případě tedy výraz nedává smysl a výsledek dělení nulou tak není definován.
Mylné závěry při dělení nulou
Pokud by bylo nějak definováno dělení nulou, mohlo by dojít k mnoha absurdním výsledkům. Příkladem je falešný důkaz, že , např.:
- Pro každé reálné číslo platí:
- Rozložíme obě strany dvěma různými způsoby
- Vydělíme obě strany výrazem (zde je ve skutečnosti dělení nulou, protože )
- Což je:
- Protože může nabývat jakýchkoliv hodnot, dosadíme .
Chybou je v tomto případě předpoklad, že (tzn. 0/0) se rovná 1. K podobným nesmyslm vede jakákoliv jiná hodnota přiřazená jako výsledek 0/0.
Limity a dělení nulou
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Hyperbola_one_over_x.svg/220px-Hyperbola_one_over_x.svg.png)
Na první pohled vypadá možné definovat jako limitu pro jdoucí k 0.
Pro každé kladné platí:
Pro každé záporné platí:
Proto můžeme uvažovat o definování a/0 jako +∞ pro kladné a a -∞ pro záporné a. Nicméně tato definice je nevyhovující ze dvou důvodů.
Zaprvé: Kladné a záporné nekonečno nejsou reálná čísla. Takže pokud chceme zůstat v oboru reálných čísel, nedefinovali jsme nic, co by dávalo smysl. Pokud chceme pracovat s takovou definicí, je nutné rozšířit obor reálných čísel.
Zadruhé: Braní limity zprava je čistě libovolné. Stejně tak bychom mohli vzít limitu zleva a definovat jako -∞ pro kladné a a +∞ pro záporné a. Toto se dá ilustrovat na rovnici:
- ,
což nedává smysl. To znamená, že jediným fungujícím rozšířením je zavedení nekonečna bez znaménka.
Dále neexistuje žádná zřejmá definice , která by mohla být odvozena za použití limit. Limita
Antropológia
Aplikované vedy
Bibliometria
Dejiny vedy
Encyklopédie
Filozofia vedy
Forenzné vedy
Humanitné vedy
Knižničná veda
Kryogenika
Kryptológia
Kulturológia
Literárna veda
Medzidisciplinárne oblasti
Metódy kvantitatívnej analýzy
Metavedy
Metodika
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk