A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Kompaktná množina alebo kompakt je taká množina bodov topologického priestoru, že z každého jej pokrytia otvorenými množinami sa dá vybrať pokrytie konečné.
V Euklidovských priestoroch sú kompaktné množiny práve ohraničená a uzavreté podmnožiny Euklidovského priestoru. Napríklad v R je uzavretý jednotkový interval kompaktný, ale množina celých čísel Z nie (nie je ohraničená), ani polootvorený interval upraviť | upraviť zdroj
Kompaktnosť podmnožín Rnupraviť | upraviť zdroj
Pre každú podmnožinu A Euklidovského priestoru Rn sú nasledujúce podmienky ekvivalentné:
- Každé otvorené pokrytie A má konečné podpokrytie.
- Z každej postupnosti v A možno vybrať konvergentnú podpostupnosť, ktorej limita leží v A.
- Každá nekonečná podmnožina A má hromadný bod v A.
- Množina A je uzavretá a ohraničená.
V iných priestoroch nemusia byť tieto podmienky ekvivalentné.
Kompaktnosť topologického priestoruupraviť | upraviť zdroj
Vlastnosť "konečného podpokrytia" je abstraktnejšia ako "uzavretosť a ohraničenosť", ale má tú výhodu, že k jej použitiu stačí znalosť topológie danej množiny, tj. nie je nutná znalosť metriky alebo okolitého priestoru. Teda kompaktnosť je topologická vlastnosť.
Topologický priestor X sa nazve kompaktným, ak z každého jeho otvoreného pokrytia možno vybrať konečné podpokrytie. Formálne to znamená:
- Pre ľubovoľný systém otvorených podmnožín taký, že , existuje konečná podmnožina tak, že .
Príklady kompaktných priestorovupraviť | upraviť zdroj
- Prázdna množina.
- Konečný topologický priestor. Všeobecnejšie, priestor s konečnou topológiou (konečne mnoho otvorených množín).
- Uzavretý jednotkový interval .
- Uzavretá jednotková guľa konečne rozmerného priestoru.
- Cantorova množina.
- Hilbertova kocka.
Vetyupraviť | upraviť zdroj
Niektoré tvrdenia vzťahujúce sa ku kompaktnosti:
- Spojitý obraz kompaktu je kompakt.
- Spojitá reálna funkcia na kompakte je ohraničená a nadobúda maxima.
- Uzavretá podmnožina kompaktu je kompakt.
- Kompaktná podmnožina Hausdorffovho priestoru je uzavretá.
- Neprázdna kompaktná podmnožina reálnych čísel má najväčší a najmenší prvok.
- Podmnožina Euklidovského priestoru je kompaktná, práve keď je uzavretá a ohraničená. (Heine–Borelova veta)
- Metrický priestor (alebo uniformný priestor) je kompaktný, práve keď je úplný a totálne ohraničený.
- Súčin kompaktných priestorov je kompaktný. (Tichonovova veta)
- Kompaktný Hausdorffov priestor je normálny.
- Každá spojitá bijekcia z kompaktného priestoru do Hausdorffovho pristoru je homeomorfizmus.
- Metrický priestor je kompaktný, práve keď z každej postupnosti možno vybrať konvergentnú podpostupnosť.
- Topologický priestor je kompaktný, práve keď každý net má konvergentný podnet.
- Topologický priestor je kompaktný, práve keď každý ultrafilter je konvergentný.
Ďalšie formy kompaktnostiupraviť | upraviť zdroj
Existuje množstvo topologických vlastností, ktoré sú ekvivalentné kompaktnosti v metrických priestoroch, ale vo všeobecných topologických priestoroch nie:
- Sekvenciálna kompaktnosť: Každá postupnosť má konvergentnú podpostupnosť.
- Spočítateľná kompaktnosť: Každé spočítateľné otvorené pokrytie má konečné podpokrytie.
- Pseudokompaktnosť: Každá spojitá reálna funkcia je ohraničená.
- Slabá spočítateľná kompaktnosť: Každá nekonečná podmnožina má hromadný bod.
Platia nasledujúce implikácie:
- Kompaktný priestor je spočítateľne kompaktný.
- Sekvenciálne kompaktný priestor je spočítateľne kompaktný.
- Spočítateľne kompaktný priestor je pseudokompaktný a slabo spočítateľne kompaktný.
Metrický priestor sa nazýva prekompaktný alebo totálne ohraničený, ak každá postupnosť má cauchyovskú podpostupnosť.
Pozri ajupraviť | upraviť zdroj
Literatúraupraviť | upraviť zdroj
- Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology (1978) Springer-Verlag, New York
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.
Antropológia
Aplikované vedy
Bibliometria
Dejiny vedy
Encyklopédie
Filozofia vedy
Forenzné vedy
Humanitné vedy
Knižničná veda
Kryogenika
Kryptológia
Kulturológia
Literárna veda
Medzidisciplinárne oblasti
Metódy kvantitatívnej analýzy
Metavedy
Metodika
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk