Graf funkcie kosínus

Kosínus je goniometrická funkcia. V pravouhlom trojuholníku je definovaná ako pomer priľahlej odvesny a prepony. Pre označenie tejto funkcie sa obvykle používa skratka cos a jej grafom je kosínusoida.

Vlastnosti

Funkcia ${\displaystyle y=\cos x\,\!}$ má nasledujúce vlastnosti (kde k je ľubovoľné celé číslo):

• Definičný obor: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (reálne čísla)
• Obor hodnôt: ${\displaystyle \langle -1;1\rangle }$
• Funkcia je rastúca: v každom intervale ${\displaystyle \left(\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi \right)}$
• Funkcia je klesajúca: v každom intervale ${\displaystyle \left(2k\pi ,\pi +2k\pi \right)}$
• Funkcia nadobúda maximum rovné 1 v bode : ${\displaystyle 2k\pi }$
• Funkcia nadobúda minimum rovné -1 v bode: ${\displaystyle \pi +2k\pi }$
• Derivácia: ${\displaystyle y'=-\sin x\,\!}$
• Integrál: ${\displaystyle \int \cos x\,\mathrm {d} x=\sin x+c}$
• Taylorov rad: ${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}$, rovnosť platí pre všetky reálne čísla
• Inverzná funkcia: arkuskosínus (arccos), je to inverzná funkcia k funkcii kosínus zúženej na interval ${\displaystyle }$
• Funkcia:
  • je párna
  • nie je nepárna
  • je ohraničená zhora aj zdola
  • je periodická s periódou ${\displaystyle 2\pi }$
  • je spojitá aj so všetkými deriváciami v celom definičnom obore

Kosínus v komplexnom obore

Funkcia kosínus je v komplexných číslach definovaná súčtom radu

${\displaystyle \cos z=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}}$

ktorý konverguje na celej komplexnej rovine. Pre každé dve komplexné čísla z₁,z₂ platí:

${\displaystyle \cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},}$

${\displaystyle \cos \left(z_{1}+z_{2}\right)=\cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2},}$

${\displaystyle \cos iz=\cosh z,\,}$

Tieto vzorce plynú priamo z príslušných definičných mocninových radov daných funkciou. Kosínus je na celej komplexnej rovine jednoznačná holomorfná funkcia.

Kosínus ako riešenie diferenciálnej rovnice

Niekedy je výhodné definovať funkciu kosínus ako riešenie Cauchyho úlohy

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0,\ y(0)=1,y'(0)=0.}$

Pozri aj

• Goniometria
• Sínus
• Tangens
• Kotangens
• Cyklometrická funkcia
• Kosínusová veta

Externé odkazy

• Funkcia kosínus
• Funkcia kosínus

Iné projekty

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Kosínus