Kroneckerova delta alebo Kroneckerov symbol^[1] (pomenovaná podľa Leopolda Kroneckera) je funkcia dvoch premenných, zvyčajne prirodzených čísel. Hodnota funkcie je 1, ak sú premenné totožné a 0, ináč:

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{ak }}i\neq j,\\1&{\text{ak }}i=j.\end{cases}}}$

Alebo použitím Iversonovej notácie:

${\displaystyle \delta _{ij}=.}$

Kroneckerova delta sa prirodzene objavuje v mnohých oblastiach matematiky, fyziky, inžinierstva a informatiky.

Nasledujúce rovnosti sú splnené:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}}$

Vďaka týmto formulám a faktu, že prvky ${\displaystyle n\times n}$ jednotkovej matice ${\displaystyle {\overline {\textbf {I}}}}$ môžeme stotožniť s Kroneckerovou deltou (${\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}$), môžeme považovať ${\displaystyle {\overline {\delta }}}$ za jednotkovú maticu.

V ${\displaystyle n}$-rozmernom Euklidovskom priestore môžeme zapísať štandardný skalárny súčin ako^[2]

${\displaystyle <\mathbf {a} ,\mathbf {b} >=\sum _{k,l}a_{k}\delta _{kl}b_{l}=\sum _{k}a_{k}b_{k}}$,

alebo využitím Einsteinovej sumačnej konvencie

${\displaystyle <\mathbf {a} ,\mathbf {b} >=a_{k}b_{k}}$.

Kroneckerova delta je považovaná ako tenzor druhu ${\displaystyle (1,1)}$. Kroneckerov tenzor môže byť zapísaný ako ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ s kovariantným indexom ${\displaystyle j}$ a kontravariantným indexom ${\displaystyle i}$:^[3]

${\displaystyle \delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}}$

Iversonove zátvorky sú zovšeobecnením Kroneckerovej delty, pričom Kroneckerova delta je špeciálnym prípadom, kde podmienkou je rovnosť:

${\displaystyle \delta _{ij}=.}$

1. ↑ MARIÁN FECKO. Rozšírený SYLABUS a PRÍKLADY k prednáške “TEORETICKÁ MECHANIKA ” . 2024-09-12, . Dostupné online.
2. ↑ PAVOL ZLATOŠ. Lineárna algebra a geometria. 1. vyd. Bratislava : MARENČIN PT, 2011. ISBN 978-80-8114-111-9. S. 233, 248.
3. ↑ MARIÁN FECKO. Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov. Bratislava : Iris.