Momentová vytvárajúca funkcia alebo vytvárajúca funkcia momentov je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike jedna z funkcií náhodnej veličiny. Táto funkcia sa využíva pri výpočte a určovaní momentov náhodných premenných, ktorých výpočet môže byť v mnohých prípadoch komplikovaný. Tiež môže uľahčiť dokazovanie niektorých tvrdení. Názov funkcie pochádza z faktu, že derivovaním tejto funkcie v bode nula môžeme získať momenty náhodných veličín.

Jedným z problémov pri momentovej vytvárajúcej funkcie je to, že nemusí vždy existovať (vzhľadom na to, ako je definovaná), teda nie pre každú náhodnú veličinu (každé rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny) existuje. Toto je zásadný rozdiel medzi touto funkciu a charakteristickou funkciou náhodnej premennej, ktorá existuje vždy. Pri pravdepodobnostných rozdeleniach s ľahkými chvostami momentová vytvárajúca funkcia existuje. Naopak, pri rozdeleniach s ťažkými chvostami momentová vytvárajúca funkcia neexistuje.

Definícia

Nech ${\displaystyle X}$ je náhodná veličina. Potom reálnu funkciu ${\displaystyle M}$ reálnej premennej ${\displaystyle t}$ (${\displaystyle M:\mathbb {R} \rightarrow \left}$) definovanú ako strednú hodnotu z výrazu ${\displaystyle e^{tX}}$, teda nasledovne:

${\displaystyle M_{X}(t)=E}$

nazývame momentovou vytvárajúcou funkciou tejto náhodnej premennej.

Pre spojité náhodné veličiny teda podľa definície strednej hodnoty platí:

${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)dx}$

A pre diskrétne náhodné veličiny dostávame:

${\displaystyle M_{X}(t)=\sum _{i}e^{tx_{i}}p_{i}}$

kde ${\displaystyle f(x)}$ je hustota spojitej náhodnej premennej ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle p_{i}}$ je pravdepodobnostné rozdelenie diskrétnej náhodnej premennej ${\displaystyle X}$.

V prípade, že ${\displaystyle {\mathbf {X} }}$ je n-rozmerný náhodný vektor, teda: ${\displaystyle {\mathbf {X} }=(X_{1},\cdots ,X_{n})}$, tak momentová vytvárajúca funkcia pre ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{n}}$ je definovaná nasledovne:

${\displaystyle M_{\mathbf {X} }(\mathbf {t} )=E\left(e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }\right)}$.

Vlastnosti

Pre dané pravdepodobnostné rozdelenie existuje práve jedna momentová vytvárajúca funkcia, a tým pádom jednoznačne určuje dané rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny (rovnako ako distribučná funkcia náhodnej veličiny).

Momentová vytvárajúca funkcia v bode 0 (teda pre: ${\displaystyle t=0}$) existuje vždy a je rovná 1.

Pokiaľ máme momentovú vytvárajúcu funkciu ${\displaystyle M_{X}(t)}$ a pre ľubovoľné ${\displaystyle m>0}$ platí nasledovné:

• ${\displaystyle M_{X}(m)<\infty }$
• ${\displaystyle M_{X}(-m)<\infty }$

tak potom pre túto momentovú funkciu platí, že je konečná a spojitá na intervale ${\displaystyle <-m;m>}$. Na intervale ${\displaystyle (-m;m)}$ existujú tiež derivácie všetkých rádov, pričom sú všetky spojité.

Ako bolo vyššie spomenuté, derivovaním tejto funkcie v bode nula vieme vypočítať momenty náhodných veličín:

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M_{X}(t)|_{t=0}=E}$

V prípade, že položíme ${\displaystyle k=2}$ a ${\displaystyle k=3}$, tak platí nasledujúci vzťah:

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dt^{k}}}lnM_{X}(t)|_{t=0}=E\left\left(X-EX\right)^{k}\right}$

Pokiaľ pre dve náhodne veličiny ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ a pre každé ${\displaystyle t\in <-m;m>}$, kde ${\displaystyle m>0}$, platí, že ich momentové vytvárajúce funkcie sa rovnajú, teda:

${\displaystyle M_{X}(t)=M_{Y}(t)}$

tak potom majú tieto dve náhodné veličiny rovnaké rozdelenie pravdepodobnosti, teda:

${\displaystyle F_{X}(x)=F_{Y}(x)}$

Ďalší dôležitý vzťah sa týka momentovej vytvárajúcej funkcie súčtu náhodných veličín. Platí nasledovné:

${\displaystyle M_{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}(t)=\prod _{i=1}^{n}M_{X_{i}}(t)}$

Alebo všeobecnejší vzťah pre súčet n lineárnych kombinácií nezávislých náhodných veličín (nie nutne rovnako rozdelených), teda pre:

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},}$

kde ${\displaystyle a_i}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.