Paretovo rozdělení, pojmenované podle italského ekonoma Vilfreda Pareta (1848–1923), je rodina spojitých rozdělení pravděpodobnosti na nekonečném intervalu ${\displaystyle x_{\min },\infty )}$, charakterizovaných dvěma kladnými parametry: exponentem ${\displaystyle k}$ a minimální hodnotou ${\displaystyle x_{\min }}$. Paretovo rozdělení se charakteristicky vyskytuje tam, kde náhodné kladné hodnoty probíhají několik řádů velikosti a jsou výsledkem vlivu mnoha nezávislých faktorů.

Distribuce byla Paretem původně použita k popisu rozdělení příjmů v Itálii. Ve druhém svazku Paretova Kursu politické ekonomie (Cours d'économie politique, 1897) se říká, že počet lidí ve státě, kteří mají příjem vyšší než jistou hodnotu ${\displaystyle x}$, je přibližně úměrný ${\displaystyle 1/x^{k}}$, kde parametr ${\displaystyle k}$ je podle Pareta ve všech zemích někde kolem 1,5. Tato specifikace kumulativní distribuční funkce definuje rozdělení pravděpodobnosti pojmenované po Paretovi. Také mnoho dalších empirických distribucí lze dobře popsat jako Paretova rozdělení, například velikosti měst nebo výše škod v pojistné matematice.

Definiceeditovat | editovat zdroj

Spojitá náhodná proměnná ${\displaystyle X}$ má Paretovo rozdělení ${\displaystyle \operatorname {Par} (k,x_{\min })}$ s parametry ${\displaystyle k>0}$ a ${\displaystyle x_{\min }>0}$ pokud má hustotu pravděpodobnosti

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {kx_{\min }^{k}}{x^{k+1}}}&x\geq x_{\min }\\0&x<x_{\min }\end{cases}}}$

Číslo ${\displaystyle x_{\min }}$ je minimální hodnota a zároveň modus (nejčastější hodnota) distribuce, tj. místo maximální hustoty pravděpodobnosti. S rostoucí vzdáleností mezi ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle x_{\min }}$ klesá pravděpodobnost, že ${\displaystyle X}$ nabývá hodnotu ${\displaystyle x}$. Vzdálenost mezi ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle x_{\min }}$ se zde přitom chápe jako poměr mezi těmito dvěma veličinami.

Parametr ${\displaystyle k}$ je exponent určující, jak rychle zmíněná pravděpodobnost klesá v závislosti na velikosti hodnoty ${\displaystyle x}$. S větším ${\displaystyle k}$ křivka je výrazně strmější, tj. náhodná proměnná ${\displaystyle X}$ nabývá velké hodnoty s menší pravděpodobností, a naopak malé hodnoty ${\displaystyle k}$ vedou k plochým (platykurtickým) rozdělením s těžkým pravým ohonem.

Pravděpodobnost, že náhodná proměnná ${\displaystyle X}$ nabude hodnotu menší nebo rovnou ${\displaystyle x}$, se stanoví z distribuční funkce ${\displaystyle F}$. Pro všechna ${\displaystyle x\geq x_{\min }}$ tak platí:

${\displaystyle P\left\{X\leq x\right\}=F(x)=\int _{x_{\min }}^{x}f(t)\,dt=1-\left({\frac {x_{\min }}{x}}\right)^{k}}$ .

Z toho plyne pravděpodobnost, že náhodná proměnná ${\displaystyle X}$ nabude hodnoty větší než ${\displaystyle x\geq x_{\min }}$:

${\displaystyle {\rm {P}}\left\{X>x\right\}=1-P\left\{X\leq x\right\}=\left({\frac {x_{\min }}{x}}\right)^{k}}$ .

Vlastnostieditovat | editovat zdroj

Střední hodnotaeditovat | editovat zdroj

Střední hodnota je:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\begin{cases}\displaystyle x_{\min }{\frac {k}{k-1}}&k>1,\\\infty &k\leq 1.\end{cases}}}$

Kvantilyeditovat | editovat zdroj

Mediáneditovat | editovat zdroj

Medián je

${\displaystyle \mathrm{m}<!--\; \; -->(X)=x_{min}\sqrt[k]{2}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Pareto_distribution
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---