A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Prázdná množina je v matematice množina, která neobsahuje žádné prvky. Značí se obvykle symbolem přeškrtnuté nuly , někdy psané též jako , popř. ∅, anebo symbolem prázdných množinových (složených) závorek {}.
Množina, která není prázdná, tzn. množina obsahující nějaké prvky, bývá označována jako neprázdná množina.
Formální zavedení v teorii množin
V dnes nejčastěji používaném axiomatickém systému Zermelově-Fraenkelově teorii množin se existence prázdné množiny dokazuje ze schématu axiomů vydělení a axiomu existence (existuje alespoň jedna množina) formulí
- pro množinu definujme .
Z axiomu extenzionality pak plyne, že prázdná množina je jediná, tj. libovolné dvě prázdné množiny jsou si rovny.
Vlastnosti
- Prázdná množina je podmnožinou libovolné množiny:
- ∀ A: ∅ ⊆ A
- Libovolná množina se sjednocením s prázdnou množinou nemění:
- ∀ A: ∅ ∪ A = A
- Průnik libovolné množiny s prázdnou množinou je prázdná množina:
- ∀ A: ∅ ∩ A = ∅
- Kartézský součin libovolné množiny s prázdnou množinou je prázdná množina:
- ∀ A: ∅ × A = A × ∅ = ∅
- Jedinou (a to nevlastní) podmnožinou prázdné množiny je právě prázdná množina; žádné vlastní podmnožiny prázdná množina nemá:
- ∀ A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
- Mohutnost prázdné množiny je nula, prázdná množina je tedy konečná:
- |∅| = 0
Prázdná množina jako topologický prostor je zároveň otevřená, uzavřená a kompaktní.
Součet prvků prázdné množiny se obvykle definuje jako 0, součin prvků prázdné množiny jako 1, supremum prázdné množiny reálných čísel jako a infimum jako .
Vysvětlení některých vlastností
Definice podmnožiny říká, že každý prvek podmnožiny musí být prvkem druhé množiny. Obecný kvantifikátor pro každý prvek platí je u prázdné množiny vždy splněn, jak plyne z elementárních pravidel logiky.
Také je třeba si uvědomit, že např. A = {∅} není prázdná množina. Je to množina o jednom prvku, kterým je prázdná množina (tzn. jeden prvek množiny A je prázdnou množinou).
Aplikací tohoto faktu je množinové zavedení přirozených čísel (0 je reprezentována ∅, 1 jako {∅} a n jako množina ).
Literatura
- ŠTĚPÁNEK, Petr; BALCAR, Bohuslav. Teorie množin. Praha: Academia, 2005. ISBN 80-200-0470-X.
Související články
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu prázdná množina na Wikimedia Commons
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.
Antropológia
Aplikované vedy
Bibliometria
Dejiny vedy
Encyklopédie
Filozofia vedy
Forenzné vedy
Humanitné vedy
Knižničná veda
Kryogenika
Kryptológia
Kulturológia
Literárna veda
Medzidisciplinárne oblasti
Metódy kvantitatívnej analýzy
Metavedy
Metodika
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk