Sférická trigonometrie je odvětvím sférické geometrie, které se zabývá vztahy mezi goniometrickými funkcemi stran a úhlů sférických mnohoúhelníků (zvláště sférických trojúhelníků) definovaných několika protínajícími se hlavními kružnicemi na kouli. Sférická trigonometrie má velký význam pro výpočty v astronomii, geodézii a navigaci.

Počátky sférické trigonometrie sahají do starověkého Řecka, velký rozvoj prodělala v islámské matematice. Předmět došel naplnění v raném novověku s důležitými objevy Johna Napiera, Josepha Delambre a dalších a prakticky definitivní podobu získal do konce devatenáctého století publikací knihy Isaaca Todhuntera Spherical trigonometry for the use of colleges and Schools.^[1] Významným vývojem od té doby byly aplikace vektorových metod a používání numerických metod.

Potřebné definice

Sférické mnohoúhelníky

Sférický mnohoúhelník je geometrický útvar na povrchu koule definovaný několika oblouky hlavních kružnic, což jsou průniky povrchu koule s rovinami procházejícími středem koule. Takové mnohoúhelníky mohou mít jakýkoli počet stran. Dvě roviny definují kulový klín, také nazývaný „dvojúhelník“, což je dvoustranná obdoba rovinného trojúhelníka: můžeme si jej představit jako povrch slupky dílku melounu, rozkrájeného několika řezy přes střed. Tři roviny definují sférický trojúhelník, který je hlavním předmětem tohoto článku. Čtyři roviny definují sférický čtyřúhelník: tento obrazec a mnohoúhelníky s vyšším počtem stran můžeme považovat za sjednocení několika sférických trojúhelníků.

Od tohoto místa článek popisuje pouze sférické trojúhelníky, které označuje jednoduše jako trojúhelníky.

Značení

• Vrcholy i úhly ve vrcholech se označují stejnými velkými písmeny A, B a C.
• Úhly A, B, C trojúhelníka jsou rovny úhlům mezi rovinami, které protínají povrch koule, nebo ekvivalentně úhly mezi tečnými vektory oblouků hlavní kružnice, které se protínají ve vrcholech. Úhly jsou uváděné v radiánech. Dohodneme se, že úhly vlastních sférických trojúhelníků jsou vždy menší než π , takže π < A + B + C < 3π. (Todhunter,^[1] Art.22,32).
• Strany se označují malými písmeny a, b, c. Na jednotkové kouli jsou jejich délky numericky rovny úhlům v obloukové míře (radiánech), které oblouky hlavní kružnice vytínají ze středu. Dohodneme se, že strany vlastních sférických trojúhelníků jsou vždy menší než π , takže 0 < a + b + c < 3π. (Todhunter,^[1] Art.22,32).
• Poloměr koule se bere za jednotku. Pro řešení praktických problémů na kouli poloměru R je třeba změřené délky stran napřed vydělit poloměrem R pomocí identit uvedených níže. A po výpočtu provedeném na jednotkové kouli musí být strany a, b, c naopak znásobeny poloměrem R.

Polární trojúhelníky

Polární trojúhelník přiřazený k trojúhelníku ABC je definován takto: Uvažujme hlavní kružnici, která obsahuje stranu BC. Tato hlavní kružnice je definována průnikem povrchu koule s rovinou procházející středem koule. Sestrojíme normálu k této rovině ve středu koule: normála protíná povrch koule ve dvou bodech; bod, který je na stejné straně roviny jako bod A, nazveme pólem A, a budeme jej značit A'. Body B' a C' definujeme obdobně.

Trojúhelník A'B'C' je polární trojúhelník odpovídající trojúhelníku ABC. Velmi důležitá věta (Todhunter,^[1] Art.27) dokazuje, že pro úhly a strany polárního trojúhelníka platí

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'&=\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignedat}}}$

Použitím první identity na polární trojúhelník vytvořený výše uvedenou substitucí můžeme z každé identity dokázané pro trojúhelník ABC okamžitě odvodit další identity. Tímto způsobem lze z jedné kosinové rovnice odvodit další kosinové rovnice. Podobně lze ze vztahů pro pravoúhlý trojúhelník odvodit identity pro kvadrantový trojúhelník. Polární trojúhelník polárního trojúhelníka je původní trojúhelník.

Kosinová a sinová pravidla

Kosinová pravidla

Kosinové pravidlo je základní identitou sférické trigonometrie: z něj lze odvodit všechny další identity, včetně sinového pravidla.

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\!}$

${\displaystyle \cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\!}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,\!}$

Tyto identity aproximují kosinové pravidlo rovinné trigonometrie, pokud jsou strany mnohem menší než poloměr koule. (Jestliže na jednotkové kouli a, b, c << 1:, použijeme přibližné vztahy ${\displaystyle \sin a\approx }$ a ${\displaystyle \cos a\approx 1-a^{2}/2}$ atd.; viz Sférická kosinová věta.)

Sinová pravidla

Sférická sinová věta je dána vzorcem

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$

Tyto identity aproximují sinové pravidlo rovinné trigonometrie, když jsou strany mnohem menší než je poloměr koule.

Odvození kosinové věty

Sférické kosinové vzorce byly původně dokázány pomocí elementární geometrie a rovinné kosinové věty (Todhunter,^[1] Art.37). Todhunter také ukazuje jejich odvození pomocí jednoduchých souřadnic a rovinného kosinového pravidla (Art.60). Zde uvedený přístup používá jednodušších vektorových metod. (Tyto metody jsou také diskutovány v článku Sférická kosinová věta.)

Uvažujme tři jednotkové vektory OA, OB a OC z počátku (ve středu koule) do vrcholů trojúhelníka (na jednotkové kouli). Oblouk BC vytíná úhel velikosti a ve středu a proto OB·OC=cos a. Zavedeme Kartézské souřadnice, tak že polopřímka OA je kladná poloosa osy z a OB v rovině xz svírá úhel c s osou z. Projekce vektoru OC na ON v rovině xy a úhel mezi ON a osou x je A. Vektory OA, OB a OC mají v této souřadné soustavě vyjádření:

OA ${\displaystyle (0,\,0,\,1)}$    OB ${\displaystyle (\sin c,\,0,\,\cos c)}$    OC ${\displaystyle (\sin b\cos A,\,\sin b\sin A,\,\cos b)}$.

Skalární součin OB·OC vyjádřený pomocí těchto souřadnic je

OB·OC = ${\displaystyle \sin c\,\sin b\,\cos A+\cos c\,\cos b}$.

Srovnání obou výrazů pro skalární součin dává

${\displaystyle \cos =\cos b\,\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A.}$

Tuto rovnici lze přeskládat tak, aby dávala explicitní výrazy pro úhel vyjádřený pomocí stran:

${\displaystyle \cos A={\frac {\cos a\,-\,\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}.}$

Další kosinová pravidla lze získat cyklickou permutací.

Odvození sinového pravidla

Toto odvození je uvedeno v Todhunter,^[1] (Art.40). Využijeme identity ${\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}$, do které za ${\displaystyle \cos A}$ dosadíme předchozí výsledek, čímž dostaneme

Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Sférický_trojúhelník
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---