Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

---

Konkrétní problémy: Chtělo by to neformální úvod, který člověka navede, jaké články si přečíst, abych tento theorém pochopil. Viz též tato diskuse

Teorém Noetherové je významnou větou teoretické mechaniky říkající, že každé spojité lokální symetrii, vůči které jsou invariantní rovnice popisující fyzikální systém, přísluší veličina, která se zachovává. Toto tvrzení platí obecně pro všechny zákony, které se dají formulovat pomocí principu nejmenší akce. V důsledku teorému Noetherové můžeme říci, že zákon zachování energie je důsledkem symetrie fyzikálních zákonů vůči posunutí v čase, zákon zachování hybnosti je důsledkem symetrie vůči posunutí v prostoru a zákon zachování momentu hybnosti souvisí se symetrií vůči otočení. Jedná se o tzv. slabé zákony zachování (nebo také on-shell zákony zachování), což znamená, že se daná veličina zachovává, pokud platí pohybové rovnice.

Teorém Noetherové je pojmenován po své autorce, německé matematičce Emmy Noetherové a byl poprvé publikován roku 1918.

Odvození

Předpokládejme, že máme funkcionál ${\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} }$ nazývaný akce, kde ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ je konfigurační prostor závisející obecně na všech veličinách ${\displaystyle \phi _{A}(x)\,}$, kterými popisujeme daný systém. (Multiindex A tyto veličiny čísluje.)

Předpokládejme dále, že akci můžeme vyjádřit v obvyklém tvaru, jako integrál hustoty lagrangiánu

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,\phi _{A}(x),\partial _{\mu }\phi _{A}(x))}$

přes celý prostor

${\displaystyle {\mathcal {S}}\,=\,\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\mathcal {L}}(x,\phi _{A}(x),\partial _{\mu }\phi _{A}(x)).}$

(Přitom předpokládáme, že lagrangián závisí jen na prvních derivacích zkoumaných proměnných. Pro vyšší derivace je zobecnění přímočaré.) Podle principu stacionární akce platí

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi _{A}}}\,=\,0,}$

a to tak, že na okraji M jsou veličiny ${\displaystyle \delta \phi \,}$ nulové. (Jde o úlohu s pevnými okraji.) Provedením variace

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,=\,\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{A}}}\delta \phi _{A}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{A})}}\delta (\partial _{\mu }\phi _{A})=\,\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{A}}}\delta \phi _{A}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{A})}}\right)\delta \phi _{A}=\,\int _{M}\mathrm {d} ^{n}x\,{\mathcal {L}}^{*}\delta \phi _{A},}$

kde

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}\equiv {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{A}}}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{A})}}\right).}$

Protože ${\displaystyle \phi _{A}\,}$ jsou na M libovolné, musí platit ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=0,}$ což jsou rovnice popisující daný systém.

Nyní mějme spojitou k-parametrickou transformaci souřadnic

${\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=x^{\mu }-\varepsilon ^{i}\xi _{i}^{\mu }(x)=x^{\mu }+\delta x^{\mu },}$

vůči které jsou fyzikální zákony invariantní. ${\displaystyle \xi _{i}(x)}$ jsou obecně libovolné diferencovatelné funkce, ${\displaystyle \varepsilon ^{i}}$ jsou infinitezimální parametry, které generují příslušnou Lieovu grupu symetrií a i probíhá hodnoty 1..k. Tato transformace indukuje transformaci zkoumaných veličin

${\displaystyle {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}'.}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,\phi _{A},\partial _{\mu }\phi _{A})\to {\mathcal {L}}'(x',\phi '_{A},\partial _{\mu }\phi '_{A}),}$

${\displaystyle \phi _{A}(x)\to \phi '_{A}(x')=\phi _{A}+\delta \phi _{A}.}$

Protože se při ní (z předpokladů věty) nemění tvar pohybových rovnic, platí

${\displaystyle \mathcal{L}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Teorém_Emmy_Noetherové
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---