Grafy funkcií arkustangens a arkuskotangens

Arkustangens je jedna z cyklometrických funkcií, inverzná funkcia k funkcii tangens. Obvykle sa značí arctgx alebo arctanx, v anglickej literatúre sa taktiež používa ATANx alebo tan^-1x. Jej hodnotou je uhol v oblúkovej miere z intervalu ${\displaystyle (-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})}$, prípadne v stupňovej miere z intervalu (-90 °;90 °), ktorého tangens je x. Je to jedna z najdôležitejších funkcií matematickej analýzy.

Definícia

Funkcia arctgx je inverzná funkcia k funkcii tg x, ktorej definičný obor bol obmedzený na interval ${\displaystyle (-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})}$. Vďaka tomuto obmedzeniu je predvolená funkcia prostá, takže požadovaná inverzná funkcia existuje.

Vlastnosti

Funkcia ${\displaystyle y={\mbox{arctg }}x}$ v oblúkovej miere je bijektívne zobrazenie medzi množinou reálnych čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a intervalom ${\displaystyle (-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})}$, čo okrem iného dokazuje, že každý interval má rovnakú mohutnosť ako množina reálnych čísel.

Ďalej má táto funkcia nasledujúce vlastnosti:

Definičný obor	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Obor hodnôt	${\displaystyle (-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})}$
Ohraničenosť	Je ohraničená
Monotónnosť	Je rýdzo rastúca, a teda prostá
Symetria	Je nepárna
Periodicita	Nie periodická
Limity	${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\mbox{arctg }}x=-{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\mbox{arctg }}x={\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow 0}{{\mbox{arctg }}x \over x}=1,}$ Takže v okolí nuly je ${\displaystyle {\mbox{arctg }}x\approx x}$
Inverzné funkcie	${\displaystyle x={\mbox{tg }}y}$ (Tangens)
Derivácia	${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,{\mbox{arctg }}x={1 \over {1+x^{2}}}}$
Integrál	${\displaystyle \int {\mbox{arctg }}x\;\mathrm {d} x=x\;{\mbox{arctg }}x-{\tfrac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}$

Vzorce

${\displaystyle {\mbox{arctg }}x={\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arccotg }}x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle {\mbox{arctg }}(-x)=-{\mbox{arctg }}x}$

${\displaystyle {\mbox{arctg }}{1 \over x}={\begin{cases}{\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arctg }}x={\mbox{arccotg }}x&{\text{pokiaľ }}x>0\\-{\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arctg }}x=-\pi +{\mbox{arccotg }}x&{\text{pokiaľ }}x<0\end{cases}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,{\mbox{arctg }}x={\mbox{arctg}}\,{x \over 1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

${\displaystyle 2\,{\mbox{arctg }}x\equiv {\mbox{arctg}}\,{2x \over 1-x^{2}}{\pmod {\pi }},\quad x\neq \pm 1}$ ^{[p 1]}

${\displaystyle {\mbox{arctg }}x+{\mbox{arctg }}y\equiv {\mbox{arctg}}\,{x+y \over 1-xy}{\pmod {\pi }},\quad xy\neq 1}$

Poznámky

1. ↑ Dosadením x = y do vzorca pre arctg x + arctg y