Tomuto článku alebo sekcii chýbajú odkazy na spoľahlivé zdroje, môže preto obsahovať informácie, ktoré je potrebné ešte overiť. Pomôžte Wikipédii a doplňte do článku citácie, odkazy na spoľahlivé zdroje.

Riccatiho rovnica je nelineárna Obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu

${\displaystyle y'(x)=q_{0}(x)+q_{1}(x)\,y(x)+q_{2}(x)\,y^{2}(x)}$

kde funkcie ${\displaystyle q_{i},\ i=0,1,2}$ sú zadané a predpokladá sa, že ${\displaystyle q_{0}(x),q_{2}(x)\not =0}$.

Transformácia na lineárnu rovnicu druhého rádu

Riccatiho rovnicu možno upraviť na lineárnu rovnicu druhého rádu.

Ak ${\displaystyle q_{2}\not =0}$, tak nová funkcia ${\displaystyle v=yq_{2}}$ je riešením špeciálnej Riccatiho rovnici

${\displaystyle v'=v^{2}+R(x)v+S(x),\!}$

kde význam symbolov ${\displaystyle S,R}$ je nasledovný

${\displaystyle S=q_{2}q_{0},\quad R=q_{1}+\left({\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)}$.

Ak teraz urobíme substitúciu ${\displaystyle v=-u'/u}$, tak zistíme, že funkcia ${\displaystyle u}$ spĺňa lineárnu rovnicu druhého rádu

${\displaystyle u''-Ru'+Su=0.\!}$

Riešenie ${\displaystyle y}$ pôvodnej Riccatiho rovnice potom súvisí s riešením ${\displaystyle u}$ lineárnej rovnice vzťahom

${\displaystyle y=-u'/(q_{2}u).\!}$

Štruktúra riešení Riccatiho rovnice

Vzťah medzi Riccatiho rovnicou a lineárnou rovnicou druhého rádu umožňuje detailne preskúmať množinu riešení Riccatiho rovnice. Menovite, ak poznáme nejaké riešenie Riccatiho rovnice, označme ho ${\displaystyle Y}$, tak potom všeobecné riešenie je tvaru

${\displaystyle Y+u.\!}$

Dosadením tohoto vzťahu do Riccatiho rovnice dostávame podmienku na funkciu ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,Y)\,u=q_{2}\,u^{2},}$

čo je Bernoulliho diferenciálna rovnica, ktorú riešime úpravou na lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu pomocou substitúcie

${\displaystyle z={\frac {1}{u}}}$

s výslednou rovnicou

${\displaystyle z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,Y)\,z=-q_{2}}$

Čiže zhrnieme, ak ${\displaystyle Y}$ je nejaké riešenie pôvodnej Riccatiho rovnice, tak všeobecné riešenie Riccatiho rovnice má tvar

${\displaystyle y=Y+{\frac {1}{z}},}$

kde ${\displaystyle z}$ je všeobecné riešenie uvedenej lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu.