Analýza hlavných komponentov pri mnohorozmernom normálnom rozdelení so stredom v bode (1, 3). Zobrazené vektory sú vlastné vektory kovariančnej matici.

Analýza hlavných komponentov (angl. principal component analysis, skrátene PCA) je matematická štatistická metóda, ktorá využíva ortogonálnu transformáciu na to, aby previedla prvky množiny pozorovaní, u ktorých je možné, že sú korelované, na prvky takej množiny hodnôt, ktoré sú lineárne nekorelované. Tieto sa potom označujú ako hlavné komponenty. Pri analýze hlavných komponentov ide teda o to, že hľadáme takú množinu lineárnych kombinácií pôvodných premenných (pozorovaní), ktorá zachováva čo najväčšie množstvo informácií o pôvodných premenných (pozorovaniach) a zároveň jej dimenzia bude menšia alebo nanajvýš rovná ako dimenzia pôvodnej množiny (počet prvkov novej množiny bude menší alebo nanajvýš rovný ako počet prvkov pôvodnej množiny). Týmto postupom sa docieli to, že bude možné študovať daný štatistický problém v podpriestore s menšou dimenziou, čo má veľký význam pri ďalšej analýze štatistického súboru (testovanie hypotéz, hľadanie oblastí spoľahlivosti, grafické znázorňovanie pozorovaní, a pod.).

Počet hlavných komponentov je teda vždy menší alebo nanajvýš rovný pôvodnému počtu prvkov. Ortogonálna transformácia, ktorá sa pri tejto metóde používa, je definovaná tak, aby mal prvý hlavný komponent najväčšiu varianciu spomedzi všetkých možných lineárnych kombinácii vektora pozorovaní.

Metódu analýzy hlavných komponentov navrhol v roku 1901 anglický matematik Karl Pearson a v roku 1933 ju zovšeobecnil americký matematik Harold Hotelling.

Definícia

Uvažujme p-rozmerný náhodný vektor ${\displaystyle {\mathbf {X} }=(X_{1},\cdots ,X_{p})^{T}}$, ktorého kovariančnú maticu označme ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$ (táto matica je štvorcová typu ${\displaystyle p\times p}$ a kladne semidefinitná). Podľa Jordanovej spektrálnej dekompozičnej vety o symetrických maticiach vieme, že každú symetrickú štvorcovú maticu môžeme zapísať v nasledovnom tvare:

${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }={\mathbf {U} }{\mathbf {A} }{\mathbf {U} }^{T}=\sum _{j=1}^{p}\alpha _{j}u_{j}u_{j}^{T}}$

Kde:

• matica ${\displaystyle {\mathbf {A} }=diag(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{p})}$ je diagonálna matica, ktorej prvky sú vlastné čísla matice ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$.

• matica ${\displaystyle {\mathbf {U} }=(u_{1},\cdots ,u_{p})}$ je ortogonálna matica, ktorej stĺpce sú vlastné vektory normy 1 matice ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$. Tieto vektory ${\displaystyle u_{1},\cdots ,u_{p}}$ tvoria ortonormálny systém vlastných vektorov matice ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$.

• ${\displaystyle \alpha _{j}}$ je vlastné číslo prislúchajúce vlastnému vektoru ${\displaystyle u_{j}}$. Môžeme predpokladať, že pre tieto vlastné čísla platí: ${\displaystyle \alpha _{1}\geq \cdots \geq \alpha _{p}}$.

Strednú hodnotu vektora ${\displaystyle {\mathbf {X} }}$ označme ${\displaystyle \mu }$. Potom náhodný vektor ${\displaystyle {\mathbf {Z} }}$, ktorý je definovaný nasledujúcim vzťahom:

${\displaystyle {\mathbf {Z} }=U^{T}({\mathbf {X} }-\mu )}$

nazývame vektorom hlavných komponentov náhodného vektora ${\displaystyle {\mathbf {X} }}$.

Pre strednu hodnotu a kovariančnú maticu vektora ${\displaystyle {\mathbf {Z} }}$ platí nasledovné:

• ${\displaystyle E({\mathbf {Z} })=0}$
• ${\displaystyle D({\mathbf {Z} })=diag(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{p})}$

Zložky vektora sú nekorelované a pre disperzie týchto zložiek platí, že: ${\displaystyle D(Z_{1})\geq D(Z_{2})\geq \cdots \geq D(Z_{p})}$. Jednotlivé zložky vektora ${\displaystyle {\mathbf {Z} }}$ sa nazývajú hlavné komponenty, teda pre ${\displaystyle k=1,\cdots ,p}$ je náhodná premenná tvaru:

${\displaystyle Z_{k}=u_{k}^{T}({\mathbf {X} }-\mu )}$

k-ty hlavný komponent náhodného vektora ${\displaystyle {\mathbf {X} }}$.

Vlastnosti

Základné vlastnosti hlavných komponentov sú nasledovné:

• ${\displaystyle E(Z_{j})=0}$ pre ${\displaystyle j=1,\cdots ,p}$

• ${\displaystyle D(Z_{j})=\alpha _{j}}$ pre ${\displaystyle j=1,\cdots ,p}$

• ${\displaystyle cov(Z_{i},Z_{j})=0}$ pre ${\displaystyle i\neq j}$

• ${\displaystyle cov(X_{k};Z_{l})=u_{k,l}\alpha _{l}}$

• pre koeficient korelácie platí, že: ${\displaystyle \rho (X_{k};Z_{l})=u_{kl}{\frac {\sqrt {\alpha _{l}}}{\sigma _{k}}}}$

Kde $$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.