A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Rovnica je vzťah rovnosti medzi dvoma algebrickými výrazmi, ak sa na rozdiel od rovnosti (identity) dá dosadiť len niekoľko špecifických hodnôt. Napríklad vzťah rovnosti F (x) = f (x) medzi dvoma funkciami tej istej premennej sa označuje rovnica s jednou neznámou, ak je správny len pre určité hodnoty spomenutej premennej.
Inak vyjadrené, ide o výrokovú funkciu, ktorá každému oboru definície pevne zvolených zobrazení F a f priraďuje výrok "hodnota zobrazenia F v bode x sa rovná hodnote zobrazenia f v bode x".
Niektoré javy nemožno opísať iba pomocou jednej rovnice. Preto sa stretávame aj so sústavami rovníc.
Znak rovná sa
Graficky sa rovnica vyjadruje znakom = medzi dvoma algebraickými výrazmi. Rovnice sa často používajú aj na to, aby sme niečo definovali. V takom prípade sa to, čo definujeme píše spravidla vľavo a znak = sa často nahradí znakom :=, alebo sa nad rovná sa napíše "def"; napríklad definícia derivácie funkcie je:
Takisto sa niekedy rovnica používa na vyjadrenie, že sa niečo má niečomu rovnať (požiadavka), vtedy sa často nad rovná sa pripíše výkričník.
Základné definície
- Symbol x sa nazýva neznáma; ak má rovnica namiesto jednej neznámej x viacero neznámych x1, x2…xn (často označované ako x, y, z…), hovoríme, že je rovnicou o n neznámych
- Symbol a sa spravidla nazýva koeficient neznámej; pri rovniciach o n neznámych máme zároveň n koeficientov neznámych a0, a1…an (často označované ako a, b, c…)
- Koreň alebo riešenie rovnice je každý prvok oboru pravdivosti rovnice
- Obor pravdivosti rovnice (zjednodušene povedané množina riešení) je množina všetkých tých x z definičného oboru oboch zobrazení F a f (čiže oboru definície rovnice), pre ktoré je výrok F (x) = f (x) pravdivým výrokom
- Obor definície rovnice je množina, z ktorej možno dosadzovať prvky ako premenné, ktoré sú koreňmi rovnice.
Premenná, neznáma, parameter
Pojem premenná je v zásade identický s pojmom neznáma, no pri rovniciach s jednou neznámou sa premenné delia na:
- neznáme = premenné, ktoré chceme z rovnice určiť
- parametre = ostatné premenné
Ak rovnica neobsahuje premenné, napr. 3 + 1 = 4, tak čisto formálne hovoríme o výroku, inak o výrokovej forme.
Delenie podľa počtu neznámych
Delenie podľa riešiteľnosti
- všeobecne platná rovnica alebo identická rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení ktoréhokoľvek prvku oboru definície, teda má vždy riešenie (napr. x + y = y + x)
- riešiteľná rovnica alebo splniteľná rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení niektorých prvkov oboru definície, ale nepravdivým výrokom pre ostatné prvky oboru definície (napr. 2x + 4 = 2, kde riešením je len číslo –1 z oboru definície všetkých čísiel)
- neriešiteľná rovnica alebo nesplniteľná rovnica je rovnica, ktorej obor pravdivosti je prázdna množina, teda nemá riešenie (napr. x + 1 = x)
Veľa rovníc je však neriešiteľných len pre obor definície z určitej množiny čísiel, napr. x2 = 2 je neriešiteľná pre racionálne čísla, ale riešiteľná pre reálne čísla.
Delenie podľa typu zobrazení F a f
- algebrická rovnica
- nealgebrická rovnica (transcendentná rovnica)
Vektorový a maticový zápis pre lineárne rovnice
Keďže množinu riešení (koreňov) každej algebraickej rovnice môžeme chápať ako aritmetický vektor – tzv. vektor neznámych xT = (x1, x2…xn) a množinu koeficientov neznámych ako aritmetický vektor aT = (a0, a1…an), môžeme všeobecný vzorec pre lineárne rovnice s viacerými neznámymi a0x0 + a1x1 +…+ anxn = b, aby sme ušetrili miesto, alternatívne zapísať ako
aTx = b.
Podobne môžeme množinu koeficientov neznámych každej sústavy lineárnych rovníc chápať ako maticu – tzv. maticu sústavy:
A =
a množinu riešení môžeme chápať tak ako hore, takže celkovo, aby sme ušetrili miesto, alternatívne môžeme sústavu lineárnych rovníc zapísať takto: Ax =b
- Vysvetlivky
- tučné písmo znamená, že ide o vektor alebo maticu
- T znamená transponovaný vektor, čiže vektor jednoducho píšeme do riadku (netransponovaný vektor teda píšeme do stĺpca)
Riešenie rovnice
Na nájdenie riešení (koreňov) rovnice spravidla potrebujeme úpravy:
- Ekvivalentná úprava rovnice je taká úprava, ktorá nemení obor pravdivosti rovnice. Takýmito úpravami sú sčítanie a odčítanie algebraických výrazov, ako aj násobenie a delenie číslami nerovnými nule.
- Neekvivalentná úprava rovnice je každá iná úprava. Takýmito úpravami sú napríklad umocnenie a odmocňovanie – pri umocňovaní môžu vzniknúť nové korene, pri odmocňovaní zas korene odpadnúť.
Pri sústavách rovníc sa navyše rozlišujú viaceré spôsoby zohľadnenia skutočnosti, že je rovníc viac ako jedna, a že spolu súvisia, pozri Riešenie sústavy rovníc.
Príklady počítania rovníc
Príklad č.1:
Postup:
- Prenesieme konštantu na pravú stranu a zmeníme jej znak:
- Vydelíme obidve strany rovnice číslom -7:
- Konečné riešenie a výsledok rovnice je:
Príklad č.2:
Postup:
- Prenesieme premennú na ľavú stranu a zmeníme jej znak:
- Vydelíme obe strany rovnice číslom -3:
- Riešenie zapíšeme v parametrickej forme:
- Konečné riešenie a výsledok rovnice je:
Príklad č.3:
Postup:
- Do premenných a dosadíme ľubovoľné kladné čísla, v tomto prípade použijeme a .
- Čísla si dosadíme do vzorca: Ďalej:
- Ďalej: a .
- Číslo 25 zložíme následujcou rovnicou:
Číslo zapísané písmenom
Agresívny prvok
Algebra (disciplína)
Algebra logiky
Algebrická nezávislosť
Algebrická topológia
Algebrické číslo
Algebrický počtový výraz
Algebrický výraz
Aritmetická postupnosť
Asociatívnosť
Binárna operácia
Cayleyho-Hamiltonova veta
Ciferný súčet
Definičný obor
Deliteľ nuly
Dismutácia (matematika)
Dvojčlen
Galoisova teória
Geometrická postupnosť
Homomorfizmus (algebra)
Ideál (okruhu)
Inverzný prvok
Jednočlen
Komutatívnosť
Kvadratická rovnica
Lineárna rovnica
Lineárne zobrazenie
Matematický koeficient
Matematický výraz
Množinová algebra
Mnohočlen
Modulárna aritmetika
Multinomická veta
Najmenší spoločný násobok
Obor integrity
Operácia s číslami
Operand
Operant
Postupnosť (matematika)
Premenná (matematika)
Projektívny priestor
Rad (matematika)
Rovnica (matematika)
Sústava rovníc
Suprémum
Teória grúp
Určité číslo
Usporiadané pole
Výroková algebra
Vektorové pole
Vietove vzťahy
Vyčíslenie
Vyčíslenie algebrického výrazu
Základná veta algebry
Zákony o krátení
Zákon algebrickej štruktúry
Zákon o krátení
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk