Archimedova axióma^{[1][2][3][4][5]}(iné názvy: Eudoxova-Archimedova axióma^[1][6],Eudoxova axióma^[3][5][6], Archimedov výrok^[7], Archimedov princíp, Archimedova vlastnosť ^[4][8], axióma merateľnosti^[9], Archimedova veta^[10][11]) bola pôvodne nasledujúca veta (axióma): Ak máme dve úsečky, z ktorých jedna je kratšia (X) a jedna dlhšia (Y), tak ak nanesieme (narysujeme) úsečku X dostatočne veľakrát za sebou, vždy dostaneme úsečku, ktorá je dlhšia než úsečka Y . Dnes sa táto veta často aplikuje aj na plochu, objem či všeobecne na usporiadané aritmetické a algebrické štruktúry (napr. na množiny prirodzených, celých, racionálnych a reálnych čísiel); v takom prípade znie všeobecne takto: Ak máme ľubovoľné dve (kladné) hodnoty (nejakej veličiny ^{[pozn 1]}), z ktorých jedna je menšia (A) a druhá väčšia (B), tak vždy platí A.n>B, pričom n je nejaké (aspoň jedno) prirodzené číslo . Táto veta platí (t. j. Archimedova axióma je splnená) napríklad pre množinu reálnych čísiel. Vlastnosť (niečoho) spĺňať Archimedovu axiómu, sa nazýva archimedovská vlastnosť (Archimedova vlastnosť) alebo archimedovská usporiadanosť; algebrická štruktúra (napr. grupa, pole) spĺňajúca Archimedovu axiómu sa teda volá archimedovská alebo archimedovsky usporiadaná.^{[1][5][12][3][13][14][15]}

Dá sa ukázať, že veta 2 vyplýva z nasledujúcej vety a je s ňou ekvivalentná: Množina všetkých prirodzených čísiel je zhora neohraničená resp. inak povedané (tu ako príklad pre množinu reálnych čísiel): Ku každému reálnemu číslu C existuje nejaké (aspoň jedno) prirodzené číslo n, ktoré je väčšie ako C . Aj táto veta sa niekedy takisto zvykne označovať ako Archimedova axióma (resp. vyššie uvedené synonymá), pričom ale v niektorých textoch sú použité rôzne názvy pre vetu 2 (či 1) a vetu 3 (napr. Archimedov princíp pre vetu 2 a Archimedova vlastnosť (reálnych čísiel) pre vetu 3; Archimedova axióma pre vetu 1 a Archimedova veta pre vetu 3; Archimedova vlastnosť (reálnych čísiel) pre vetu 2 a Eudoxova-Archimedova pre vetu 3). ^{[16][15][8][13][2][10]}

Z Archimedovej axiómy (t. j. z vety 2 či 3, ale aj 1) vyplýva, že v danej algebrickej štruktúre nie je žiaden nekonečne veľký či nekonečne malý prvok (t.j. napr. pre množinu reálnych čísiel platí, že neexistujú nekonečne malé alebo nekonečne veľké reálne čísla). ^[17][18][6]

Existuje aj Archimedova axióma v multiplikatívnom tvare (t.j. namiesto A.n=A+A+A... je Aⁿ=A.A.A…). K tomu pozri nižšie. ^[4]

Archimedova axióma v multiplikatívnom tvare ^[19]19">upraviť | upraviť zdroj

Vieme, že za predpokladu ${\displaystyle 0<r<1}$ platí ${\displaystyle r^{2}<r}$, ${\displaystyle r^{3}<r^{2}<r}$ a tak ďalej. Z toho je intuitívne zrejmé, že veľmi vysoké mocniny čísla ${\displaystyle r}$ sú veľmi malé. To znamená, že pri ľubovoľne malom kladnom čísle ${\displaystyle k}$ pre dosť veľké celé číslo ${\displaystyle n}$ platí ${\displaystyle r^{n}<k}$. Táto významná skutočnosť sa nazýva Archimedová vlastnosť a formálne ju zapisujeme nasledujúcou vetou: Nech ${\displaystyle 0<r<1}$, nech ${\displaystyle k>0}$. Potom existuje také prirodzené číslo ${\displaystyle n}$, že ${\displaystyle r^{n}\leq k}$.

Dôkazupraviť | upraviť zdroj

Na dokázanie Archimedovej vlastnosti musíme najprv dokázať nasledujúcu vetu:

Nech ${\displaystyle 0<r<1}$. Potom postupnosť ${\displaystyle \{r^{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ je sumovateľná a platí: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }r^{i}={\frac {1}{1-r}}}$ .

Dôkaz je nasledovný:

V (Z) položme ${\displaystyle a_{n}=r^{n}}$ pre každé celé ${\displaystyle n>0}$, z čoho vyplýva, že postupnosť ${\displaystyle \{r^{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ je sumovateľná. Označme jej súčet s. Potom platí ${\displaystyle s=\sum _{i=0}^{\infty }r^{i}=r^{0}+\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}=1+\sum _{i=1}^{\infty }r^{i-1}}$.

Urobme teraz substitúciu ${\displaystyle i-1=j}$, pričom ${\displaystyle p=0}$, ${\displaystyle r=-1}$. Keďže platí

${\displaystyle s=\sum _{i=0}^{\infty }r^{i}=r^{0}+\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}=1+\sum _{i=1}^{\infty }r^{i-1}}$ takže dostaneme ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r^{i-1}=\sum _{j=0}^{\infty }r^{j}=s}$. Teda ${\displaystyle s=1+rs}$, z čoho ihneď vyplýva

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }r^{i}={\frac {1}{1-r}}}$.

Keď sa teraz vrátime k dôkazu archimedovej postupnosti, tak podľa predchádzajúcej vety je číslo ${\displaystyle s={\frac {1}{1-r}}}$ súčtom postupnosti ${\displaystyle \{r^{n}\}_{n=0}^{\infty }}$. Preto k ľubovolnému číslo ${\displaystyle o<s}$ existuje také celé číslo ${\displaystyle m\leq 0}$, že

${\displaystyle o<\sum _{j=0}^{m}r^{j}}$. Ak označíme ${\displaystyle o={\frac {1}{1-r}}-{\frac {k}{1-r}}}$, tak zrejme ${\displaystyle o<s}$. Teda k takto zvolenému ${\displaystyle o}$ existuje celé číslo ${\displaystyle m\leq 0}$, pre ktoré platí ${\displaystyle o={\frac {1}{1-r}}-{\frac {k}{1-r}}}$. To znamená, že existuje také celé ${\displaystyle m\leq 0}$, že Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.