Doplnenie na štvorec alebo doplnenie do štvorca^[1] je úloha z oblasti matematickej analýzy, pri ktorej podstatou je zmena polynómu 2. stupňa, teda kvadratického trojčlena na tvar štvorca.

Využíva sa rovnosť: ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$ ktorá platí za predpokladu, že ${\displaystyle a\neq 0}$ pre každé číslo ${\displaystyle x}$.

Dôkaz rovnosti

Stačí spočítať štvorec (čiže druhú mocninu) na pravej strane.

${\displaystyle a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}=a(x^{2}+2x{\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}})+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}=ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}=ax^{2}+bx+c}$

V praxi sa obyčajne nepoužíva uvedený vzorec, akoby sme ho vedeli naspamäť.

Príklady

1). Upravte na štvorec kvadratický polynóm ${\displaystyle x^{2}+6x+10=(x^{2}+6x+9)+1=(x+3)^{2}+1}$. A teda platí ${\displaystyle (x+3)^{2}+1\geq 1}$, pričom rovnosť nastáva práve keď ${\displaystyle x=-3}$. V prvom kroku sme použili sčítanec ${\displaystyle 9}$ preto, že sme chceli dostať ${\displaystyle x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}}$.

2). O niečo komplikovanejším výpočtom dostaneme výsledok ak upravujeme výraz ${\displaystyle 7x^{2}-3x+12=7(x^{2}-{\frac {3}{7}}x)+12=7(x^{2}-{\frac {3}{7}}x+({\frac {3}{14}})^{2})-7({\frac {3}{14}})^{2}+12=7(x-{\frac {3}{14}})^{2}+{\frac {327}{28}}\geq {\frac {327}{28}}}$ pre všetky ${\displaystyle x}$. Pritom ${\displaystyle 7x^{2}-3x+12={\frac {327}{28}}}$ práve vtedy, keď ${\displaystyle x={\frac {3}{14}}}$.

3). Podobne ${\displaystyle -2x^{2}+5x+11=-2(x^{2}-{\frac {5}{2}}x)+11=-2(x^{2}-{\frac {5}{2}}x+({\frac {5}{4}})^{2})+2({\frac {5}{4}})^{2}+11=-2(x-{\frac {5}{4}})^{2}+{\frac {113}{8}}\leq {\frac {113}{8}}}$ pre každé ${\displaystyle x}$, pričom rovnosť ${\displaystyle -2x^{2}+5x+11={\frac {113}{8}}}$ platí práve vtedy a len vtedy, keď ${\displaystyle x={\frac {5}{4}}}$.

Všeobecne ak ${\displaystyle a>0}$, tak číslo ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ je najmenšie pre ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$, pričom pre ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ je ${\displaystyle ax^{2}+bx+c={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$.

4). Chceme nájsť také číslo ${\displaystyle x}$, aby ${\displaystyle 2x^{2}+8x-13}$ bolo najmenšie, počítame ${\displaystyle 2x^{2}+8x-13=2(x^{2}+4x)-13=2(x^{2}+4x+4)-8-13=2(x+2)^{2}-21}$. Vidíte, že ${\displaystyle 2x^{}}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.