A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Lebesgueov integrál alebo L-integrál označuje v matematike definíciu určitého integrálu, založenú na teórii miery, konkrétne tzv. Lebesgueovej miery.
Lebesgueov integrál je všeobecnejší než integrál Riemannov, čo v praxi znamená, že ak existuje Riemannov integrál, tak existuje tiež Lebesgueov integrál, pričom hodnoty oboch integrálov sú zhodné. Ak Riemannov integrál neexistuje, môže existovat integrál Lebesgueov. Opačné tvrdenie však neplatí (napr. Dirichletova funkcia, ktorej funkčná hodnota je 1 ak je argument racionálne číslo a je rovná 0 ak je argumentom iracionálne číslo, má Lebesgueov integrál, ale nemá Riemannov integrál).
Lebesgueov integrál je pomenovaný po francúzskom matematikovi Henri Lebesgueovi.
Konštrukcia integrálu
Pri konštrukcii Lebesgueova integrálu postupujeme tak, že rozdelíme obor hodnôt ohraničenej funkcie na malé intervaly. Už tu je vidieť rozdiel oproti Riemannovmu integrálu, pri ktorého konštrukcii sa delí definičný obor. Na intervale teda zvolíme body , ktoré určujú určité delenie tohoto intervalu, ktoré označíme d . Ako označíme množinu bodov , pre ktoré platí . Pre výpočet Lebesgueovho integrálu potrebujeme poznať Lebesgueovu mieru každej množiny , ktorú označíme . Horný integrálny súčet pri danom delení d potom vyjadríme vzťahom
Dolný integrálny súčet pri rovnakom delení d bude mať tvar
Pre každú ohraničenú funkciu, ktorá je na intervale merateľná, je infimum množiny horných integrálnych súčtov, ktoré získame pre všetky možné delenia d intervalu , rovné supremu množiny všetkých dolných integrálnych súčtov, tzn.
Spoločnú hodnotu infima horných a suprema dolných integrálnych súčtov nazýváme Lebesgueovým integrálom funkcie a zapisujeme , kde , prípadne . Pre zdôraznenie použitia miery možno tiež písať . Ak je nutné odlíšiť Lebesgueov integrál od integrálu Riemannovho, potom Lebesgueov integrál zapisujeme ako .
Ak existuje Lebesgueov integrál funkcie , potom o funkcii hovoríme, že je integrovateľná v Lebesgueovom zmysle. Ak je funkcia integrovateľná v Riemannovom zmysle, je integrovateľná tiež v Lebesgueovom zmysle, pričom hodnoty oboch integrálov (Riemannovho a Lebesgueovho) sú si rovné. Opačné tvrdenie však neplatí, tzn. funkcia integrovateľná v Lebesgueovom zmysle nemusí byť integrovateľná v zmysle Riemannovom.
Lebesgueov integrál je všeobecnejší než integrál Riemannov, pretože integrovať možno na ľubovolnej merateľnej množine. Je možné dokázať tvrdenie, že každá ohraničená merateľná funkcia je integrovateľná v Lebesgueovom zmysle.
Lebesgueov integrál možno rozšíriť tiež na funkcie, ktoré nie sú ohraničené.
Máme funkciu , ktorá je merateľná na ohraničenej merateľnej množine , pričom táto funkcia môže byť neohraničená. Ak na platí , potom môžeme zvoliť ľubovoľné a definovať novú funkciu takto
Funkcia je merateľná, pretože tiež funkcia je podľa predpokladu merateľná, a navyše je tiež ohraničená, takže je integrovateľná v Lebesgueovom zmysle. Lebesgueov integrál (neohraničenej) funkcie potom môžeme definovať vzťahom
Ak limita na pravej strane existuje, hovoríme, že integrál konverguje. Ak je nevlastná alebo neexistuje, potom hovoríme, že integrál diverguje.
Funkciu môžeme tiež rozložiť na , kde
Appellova postupnosť
Archimedova axióma
Bernoulliho nerovnosť
Bolzanova veta
D’Alembertovo kritérium
Darbouxova veta
Diferenciálna rovnica
Diferenciálny a integrálny počet
Doplnenie na štvorec
Extrém (funkcia)
Fourierova transformácia
Fourierov rad
Funkcionálna analýza
Gaussova veta
Greenove identity
Infimum
Integrálna rovnica
Interval (matematika)
Inverzné zobrazenie (funkcia)
Komplexná analýza
Konkávna funkcia
Konvexná funkcia
Kvázimetrický priestor
Kvadratický odhad
L’Hospitalovo pravidlo
Lagrangeov polynóm
Lebesgueova miera
Lebesgueov integrál
Limita
Logistická funkcia
Matematická analýza
Newtonov polynóm
Nosič funkcie
Obor hodnôt
Primitívna funkcia
Pseudometrický priestor
Reálna analýza
Riemannov integrál
Spojitá funkcia
Systém lovec-korisť
Taylorov rad
Teória pravdepodobnosti
Určitý integrál
Weierstrassova veta
Youngova nerovnosť
Základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk