A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Relácia kongruencie alebo kongruencia je ekvivalencia na algebre, ktorá je zlučiteľná so všetkými operáciami na tejto algebre (teda napríklad, ak sú tri páry prvkov ekvivalentné a výsledky nejakej operácie na týchto pároch sú tiež ekvivalentné, potom existuje pre tieto páry zhodnosť).
Definícia
Predpokladajme, že je algebrická štruktúra s množinou prvkov a operáciami , operácia je - árna. Predpokladajme ďalej, že je relácia ekvivalencie na množine . je kongruencia na , ak pre každú z vymenovaných operácií platí:
Táto oficiálna definícia hovorí v podstate to isté, čo úvodné priblíženie - ak sú operandy na rovnakom mieste po dvoch ekvivalentné, potom musia aj výsledky operácie byť ekvivalentné.
Príklad - zhodnosť zvyškových tried
Kongruencia čísel je úzko spätá s ich deliteľnosťou a so zvyškovými triedami. Jednoducho povedané, dve čísla sú kongruentné, ak ich rozdiel je deliteľný modulom, teda po delení modulom dávajú rovnaký zvyšok. Spomínaná ekvivalencia je v tom, že obe čísla dávajú rovnaký zvyšok po delení modulom, t. j. patria do tej istej zvyškovej triedy.
Hovoríme, že dve čísla sú kongruentné, ak ich rozdiel je deliteľný číslom , ktoré nazývame modulo. Formálne
Predchádzajúci zápis sa môže ekvivalentne prepísať na tvar
Príklad
Z predchádzajúceho vidno, že číslo dáva po delení modulom zvyšok . Pomocou axióm modulárnej aritmetiky je možné ľahko dokázať deliteľnosť veľkých čísel určitým modulom. Je zrejmé, že číslo 4 dáva po delení číslom (modulom) 3 zvyšok 1. Ale aj čísla 7,10,13,16 ... dávajú ten istý zvyšok a teda platí
Odtiaľ vyplýva, že podľa relácie kongruencie sú čísla 4, 7, 10,... ekvivalentné, lebo dávajú rovnaký zvyšok po delení modulom 3.[1]
Vlastnosti kongruencií
Relácia kongruencie je reláciou ekvivalencie a teda je reflexívna, symetrická a tranzitívna.
1. reflexívnosť
Dôkaz spočíva v použití definície kongruencie. Teda má platiť , čo je zrejme pravda, pretože .
2. symetria
Aj táto vlastnosť je jednoducho dokázateľná priamo z definície. Čiže , čo sa dá prepísať , po úprave .
3. tranzitívnosť
Dôkaz:
Súčtom oboch rovností vznikne nová rovnica
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk