Principem frekvenční modulace (FM) je závislost okamžité frekvence nosné vlny na změnách amplitudy modulačního signálu. Můžeme říct, že okamžitá úhlová frekvence ${\displaystyle \Omega (t)}$ je funkcí času a mění se v rytmu okamžité výchylky modulačního signálu. Informace je tedy kódována nikoliv změnou amplitudy nebo fáze, ale změnou frekvence nosné vlny. Maximální amplitudě napětí modulačního průběhu ${\displaystyle U_{m}}$ odpovídá maximální změna frekvence nosné, kterou nazýváme frekvenční zdvih a značíme ${\displaystyle \Delta f}$, čemuž odpovídá úhlová frekvence ${\displaystyle \Delta \Omega }$.

Matematický popis

Obecně bude mít nosná vlna následující průběh:

${\displaystyle u_{n}(t)=U_{n}\sin(\Omega t+\phi )\,}$

kde ${\displaystyle U_{n}}$ je amplituda nosné, ${\displaystyle \Omega }$ je úhlová frekvence nosné a ${\displaystyle \phi }$ fáze.

V případě frekvenční modulace je funkcí času právě úhlová frekvence ${\displaystyle \Omega }$.

Úhlovou frekvenci jako harmonickou funkci času můžeme vyjádřit vztahem:

${\displaystyle \Omega (t)=\Omega +\Delta \Omega \cos(\omega t)\,}$

kde ${\displaystyle \Delta \Omega }$ je frekvenční zdvih, ${\displaystyle \omega }$ pak úhlová frekvence modulační vlny.

Po dosazení do rovnice nosné vlny a položením fázového posuvu ${\displaystyle \phi =0}$ (jeho velikost je konstantní a nemá vliv na výsledek dalších odvození a výpočtů) dostáváme vztah:

${\displaystyle u_{n}(t)=U_{n}\sin((\Omega +\Delta \Omega \cos(\omega t))t)=U_{n}\sin(\Phi (t,\omega ))\,}$

kde funkce ${\displaystyle \Phi (t,\omega )}$ je okamžitá fáze napětí a pro ${\displaystyle \phi =0}$ je integrálem úhlové frekvence ${\displaystyle \Omega (t)}$ podle ${\displaystyle t}$. Platí tedy:

${\displaystyle \Phi (t,\omega )=\int \Omega (t)\,\mathrm {d} t=\int (\Omega +\Delta \Omega \cos(\omega t))\mathrm {d} t=\Omega t+{\frac {\Delta \Omega }{\omega }}\sin(\omega t)}$

Dále zavádíme parametr zvaný modulační index FM označený ${\displaystyle m_{FM}}$:

${\displaystyle m_{FM}={\frac {\Delta \Omega }{\omega }}={\frac {2\pi \Delta f}{2\pi f_{m}}}}$

kde ${\displaystyle \Delta f}$ je frekvenční zdvih a ${\displaystyle f_{m}}$ frekvence modulačního signálu.

Dosazením funkce ${\displaystyle \Phi (t,\omega )}$ zpět do rovnice ${\displaystyle u_{n}=U_{n}\sin(\Phi (t,\omega ))\,}$ dostáváme obvyklý tvar rovnice frekvenčně modulované vlny:

${\displaystyle u_{n}=U_{n}\sin(\Omega t+m_{FM}\sin(\omega t))\,}$

kde ${\displaystyle u_{n}}$ je okamžitá hodnota napětí modulovaného signálu, ${\displaystyle U_{n}}$ amplituda nosné vlny, ${\displaystyle \Omega }$ úhlová frekvence nosné vlny, ${\displaystyle m_{FM}}$ modulační index a ${\displaystyle \omega }$ frekvence modulační vlny.

Spektrum frekvenčně modulovaného signálu

Úpravou rovnice frekvenčně modulované vlny podle vzorce pro součin argumentů funkce sinus získáme rovnici ve tvaru:

${\displaystyle u_{n}=U_{n}(\sin(\Omega t)\cos(m_{FM}\sin(\omega t))+\cos(\Omega t)\sin(m_{FM}\sin(\omega t)))\,}$

Dále platí, že lze provést tento rozvoj:

${\displaystyle \sin(m_{FM}\sin(\omega t))=2J_{1}(M_{FM})\sin(\omega t)+2J_{3}(M_{FM})\sin(3\omega t)+2J_{5}(M_{FM})\sin(5\omega t)+\cdots \,}$

${\displaystyle \cos <!--\; \; -->(m_{FM}\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t))=J_0(M_{FM})+2J_2(M_{FM})\cos <!--\; \; -->(2\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)+2{}_{}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Frekvenční_modulace
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---