Modrá krivka označuje Taylorov polynóm. V animácii sa stupeň polynómu postupne zväčšuje, čim sa aproximácia v okolí nuly spresňuje.

Taylorov rad funkcie ${\displaystyle f}$ premennej ${\displaystyle x}$ v bode ${\displaystyle a}$ je potenčný rad (mocninový rad) so stredom ${\displaystyle a}$ v tvare

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

pričom

• ${\displaystyle f^{(n)}(a)}$ je ${\displaystyle n}$-tá derivácia funkcie ${\displaystyle f}$ v bode ${\displaystyle a}$,
• ${\displaystyle f}$ má v okolí bodu ${\displaystyle a}$ derivácie všetkých rádov.

Funkcia sa nazýva analytická (v bode ${\displaystyle a}$) ak jej Taylorov rad sa v niektorom okolí bodu ${\displaystyle a}$ zhoduje s danou funkciou. Toto neplatí univerzálne, čiže jestvujú funkcie, ktorých Taylorove rady sa s nimi nezhodujú. Príkladom takej funkcie je

${\displaystyle 0\not =x\mapsto e^{-{\frac {1}{|x|}}},\ 0\mapsto 0}$.

Jej Taylorov rad so stredom v bode 0 je nulový rad, pričom daná funkcia má hodnotu nula jedine keď jej argument je nula.

Taylorov rozvoj (funkcie ${\displaystyle f}$ premennej ${\displaystyle x}$ v bode ${\displaystyle a}$) je Taylorov rad, pre ktorý platí, že jeho súčet (teda výsledná hodnota) v okolí bodu ${\displaystyle a}$ sa rovná ${\displaystyle f(x)}$. Maclaurinov rad je Taylorov rad so stredom v bode ${\displaystyle a=0}$.

Účel

Mnohoznačne zložité funkcie je ťažké si predstaviť, zobraziť ich, prípadne odhadnúť ich funkčné hodnoty. Tiež elementárne funkcie, napríklad sínus, kosínus, nadobúdajú najmä iracionálne hodnoty, ktoré nie je možné presne vyčísliť, niekedy ani odhadnúť. Práve Taylorov rad umožňuje tieto základné goniometrické funkcie, a mnohé iné, formálne definovať. Napríklad pre funkciu sínus platí nasledujúci odhad v okolí nuly

${\displaystyle \sin x\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}}$.

Je to veľmi silná aproximácia. Hodnoty funkcie sínus v okolí nuly sa dajú vypočítať s veľmi malou chybou. Na prelome 17. a 18. storočia sa viacerí matematici pokúšali nahradiť funkciu nejakou jednoduchšou. Za najjednoduchšie sa všeobecne považujú polynomické funkcie, respektíve polynómy. Vybudovanie teórie, ktorá umožňovala aproximáciu funkcií práve polynómami, však vyžadovala poznatky z vyššej matematiky, hlavne diferenciálneho počtu. Teóriu nezávisle od seba budovali Brook Taylor a Colin Maclaurin. Táto teória umožňuje zapísať, za určitých predpokladov, funkciu ako súčet nekonečného mocninového radu, ktorý sa nazýva Taylorov rad.

Intuitívne odvodenie

Hlavná myšlienka konštrukcie Taylorovho radu spočíva v rovnosti derivácií dvoch funkcií. Obmedzme sa na polynóm stupňa ${\displaystyle n}$. Zovšeobecnenie pre polynóm nekonečného stupňa – Taylorov rad bude presnejšie opísané v samotnej definícii. Majme dve funkcie definované v okolí nejakého bodu ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú a ich derivácie všetkých rádov sú v tomto bode rovnaké, potom možno považovať funkcie za rovnaké. Na zjednodušenie uvažujme bod ${\displaystyle x=0}$. Vezmime funkciu ${\displaystyle f}$ a všeobecný polynóm

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots +a_{n}x^{n}}$

Treba však nájsť koeficienty ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{n}}$, aby nastala rovnosť ${\displaystyle f(x)=p(x)}$, pre ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}(0)}$. Jednoducho možno odvodiť, že ${\displaystyle a_{0}=f(0)}$. Ďalší koeficient možno osamostatniť derivovaním a dosadením nuly. Koeficient ${\displaystyle a_{1}}$ teda vypočítame prvou deriváciou

${\displaystyle f'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+\cdots +na_{n}x^{n-1}}$

Po dosadení jednoducho ${\displaystyle a_{1}=f'(0)}$. Všeobecne pre ${\displaystyle k}$-ty člen polynómu platí

${\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}}$

Týmto spôsobom jednoducho nájdeme tvar hľadaného polynómu. V tomto odvodení, ktoré je veľmi hrubé, nie sú zahrnuté všetky predpoklady na existenciu takého polynómu. Nie pre každú funkciu jestvuje Taylorov polynóm, respektíve Taylorov rad. Všetky predpoklady sú zhrnuté spolu so všeobecnou formálnou definíciou v nasledujúcom odseku.

Definícia

Nech ${\displaystyle f}$ je $$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.